PHP 用数组降低程序的时间复杂度

答案：而随着设备硬件配置的不断提升，对中小型应用程序来说，对算法的空间复杂度的要求也宽松了不少。不过，在当今 Web2.0 时代，对应用程序的时间复杂度却有了更高的要求。

什么是算法的时间复杂度呢？概要来说，是指从算法中选取一个能代表算法的原操作，以原操作重复执行的次数作为算法的时间量度。影响时间复杂度的因素有两个：一是原操作的执行时间，二是原操作因控制结构引起的执行次数。要把算法的时间复杂度降下来，降低原操作的执行次数是较为容易的方法，也是主要方法。本文所讲述的方法，是通过巧用 PHP 的数组，降低原操作的执行次数，从而达到降低算法时间复杂度的需求，和大家分享。

算法的时间量度记作 T(n)=O(f(n))，它表示算法中基本操作重复执行的次数是问题规模 n 的某个函数 f(n)，也就是说随着问题规模 n 的增大，算法执行时间的增长率和 f(n) 的增长率相同。多数情况下，我们把最深层循环内的语句作为原操作来讨论算法的时间复杂度，因为它的执行次数和包含它的语句的频度相同。一般情况下，对一个问题只需选择一种基本操作来讨论算法的时间复杂度即可。有时也需要同时考虑多种基本操作。

在 Web 开发中，通常一个功能的执行时间或响应时间，不仅仅跟服务器的响应能力、处理能力有关，还涉及第三方工具的交互时间，如对数据库的链接时间和对数据进行存取的时间。因而在选定原操作是，需要综合考虑应用程序各方面的因素，以最大影响程序执行时间的操作为原操作，来衡量算法的时间复杂度。也就是说，需要程序员在编写代码的时候，对重要操作的执行时间能有基本的认识。

我们先看一个例子，假设 Web 程序的开发语言是 PHP，后台采用 DB2 数据库，PHP 通过 PEAR::DB 数据抽象层来实现对数据库的访问。

数据库中有学生表 STUDENTS（见表 1），班级表 CLASSES（见表 2），学生成绩表 SCORES（见表 3），需要在 Web 页面中显示出本次考试数学成绩超过 90 分的同学姓名和所在班级。

表 1. STUDENTS Table

列名	描述
SID	学号
STUNAME	姓名
GENDER	性别
AGE	年龄
CLASSID	班级号
…

表 2. CLASSES Table

列名	描述
CLASSID	班级号
CLASSNAME	班级名
…

表 3. SCORES Table

列名	描述
SID	学生学号
COURSE	学科
SCORE	成绩
…

根据个人编程习惯的不同，要解决这个问题，通常有两种做法（访问数据库的操作用 PEAR::DB 的方式表示），参看方法 1、2。

[ 方法 1 ]对 STUDENTS, CLASSES, SCORES 三个表做联合查询，一次获取满足条件的学生信息和班级信息。PHP 算法描述如下：

				
$querystr = "select distinct S.STUNAME as STUNAME,C.CLASSNAME as CLASSNAME ".
   "from STUDENTS as S,CLASSES as C,SCORES as R ".
   "where S.SID=R.SID and S.CLASSID=C.CLASSID and R.COURSE='Math' ".
			"and R.SCORE>=90";		
$result = $db2handle->query( $querystr ); //从数据库中获取数据
while( $row=$result->fetchRow(DB_FETCHMODE_ASSOC) ){
 //读取并显示数据
 echo "StudentName=".$row['STUNAME']."\t ClassName=".$row['CLASSNAME']."\n"; 
}//Done

[ 方法 2 ]从 SCORES 表中找出满足条件的学生学号，然后从 STUDENTS 表中查找学生的姓名和班级编码，最后在 CLASSES 表中获取班级的名称。PHP 算法描述如下：

				
$scorestr = "select distinct SID from SCORES where COURSE='Math' and SCORE>=90";
$scoredata = $db2handle->query( $scorestr ); 
//从数据库中获取满足条件的学生学号
while( $score=$scoredata->fetchRow(DB_FETCHMODE_ASSOC) ){
 //读取学生的学号，并在STUDENTS表中查找学生的姓名和班级编号
 $studentstr = "select STUNAME,CLASSID from STUDENTS where SID='".$score['SID']."'";
 $studata =$db2handle->query( $studentstr);
 $stu=$studata->fetchRow(DB_FETCHMODE_ASSOC);
 //显示学生的姓名
 echo "StudentName=".$stu['STUNAME']."\t ";
 //读去学生的班级编号，并在CLASSES表中查找该学生所在班级名称
 $classstr = "select CLASSNAME from CLASSES where CLASSID='".$stu['CLASSID']."'";
 $classdata = $db2handle->query( $classstr);
 $class=$classdata ->fetchRow(DB_FETCHMODE_ASSOC);
 //显示学生的班级
 echo "CLASSNAME=".$class['CLASSNAME']."\n";
}//end while for getting each student's ID. Done

对于这样的算法描述，相信大家会有似曾相识的感觉。这也是大多程序员广泛使用的算法。因为已经习惯了将思维中的算法逻辑直接译成代码，而往往没有时间和心思来斟酌算法的优劣。这里来分析一下这两种算法的时间复杂度。

因 Web 服务器读取并显示数据的时间相对较小，一般在 10ms 的数量级，而从 DB2 数据库里查询并获取数据的时间数量级会是 100ms 的数量级，并且随查询数据量的增加而增加。所以查询数据库的操作可作为量度时间复杂度的原操作，以 STUDENTS 表和 SCORES 表中的数据量作为问题规模 n( 通常情况下，CLASSES 表的数据量较小且相对稳定 )。

对于方法 1，随着问题规模 n 的增大，访问数据库的次数为常量 1。因而，时间复杂度为 T(n)=O(1)。对于方法 2，假设 SCORES 表中满足条件的记录有 m 个，则原操作的执行次数为 m+1。也就是说随着数据规模 n 的增大，原操作的执行次数成线性增长。可见时间复杂度为 T(n)=O(n)。可见，方法 1 的时间复杂度低。

那么方法 1 的问题在哪里？主要因为方法 1 会增大数据库负载，也就是原操作的执行时间受问题规模 n 的影响比较大。假设 STUDENTS，CLASSES，SCORES 的记录数分别为 X, Y, Z。那么在执行联合查询操作时，在数据库中会形成一个记录数为 X*Y*Z 的矩阵，然后在这个矩阵中查找满足条件的记录数，最后获取记录的 STUNAME 信息和 CLASSNAME。这样，任何一个表中的数据增加，都会造成矩阵表中记录的成倍增加。

主要思路 :在所需数据中存在相对简单且数据量稳定的情况下，利用 PHP 数组 (Array) 的下标 (Index) 可以为字符串 (String) 的特点，巧妙的将数据临时存放到数组中。这样可以通过下标 (Index) 快速获取所需值，从而降低对数据库的查询次数，进而降低算法的时间复杂度。

[ 方法 3 ]从 CLASSES 表中获取 CLASSID 和 CLASSNAME 的对应关系存放到 ClassArray 一维数组中，从 STUDENTS 表中获取 SID 和 STUNAME 以及 CLASSID 的对应关系存放到 StuArray 二维数组中。之后从 SCORES 表中找出满足条件的学生学号，从 StuArray 数组中读取学生的姓名和班级编号，从 ClassArray 中读取班级的名称。PHP 算法描述如下：

				
$ClassArray = Array();
$StuArray = Array();
$classstr = "select CLASSID,CLASSNAME from CLASSES";
$classdata = $db2handle->query( $classstr);
while( $class=$classdata ->fetchRow(DB_FETCHMODE_ASSOC) ){
 //生成ClassArray数组，下标Index以CLASSID命名，对应的值为CLASSNAME
 $ClassArray[$class['CLASSID']] = $class['CLASSNAME'];
}//end while $ClassArray
$stustr="select SID,STUNAME,CLASSID from STUDENTS";
$studata = $db2handle->query( $stustr);
while( $stu=$studata ->fetchRow(DB_FETCHMODE_ASSOC) ){
 //生成StuArray数组，下标Index

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