《算法导论》学习总结 — 16.第15章 动态规划(1) 基本入门
阿门，感谢老天送给了我们这么一本圣经，看了这一章，再次感受到了《算法导论》分析问题的精辟，强悍的魅力。Orz, Orz,各种Orz。这一章讲的是动态规划，学算法的朋友，尤其是搞ACM的，对这个策略一定非常熟悉，所以这个算法网上的分析讲解教程也是铺天盖地，大家可以多搜几篇学习学习。
动态规划(Dynamic Programming，简称DP)是通过组合子问题的解来解决问题的。
注意这里的programming不是指编程，而是指一种规划。
因为DP用的太广泛了，并且书上也花了很大的篇幅来讲这一章，所以我也准备把这一章分几篇来总结，并且我不按照书上的顺序来总结，也不会全部用书上的例子。
这一章首先给出一些基础的概念，然后给出一个最基础入门的DP问题，三角形求值问题。
DP适用于子问题不是独立的情况，这样如果用分治法，也会作许多重复的工作，而DP只对子问题求解一次，将其结果保存在一张表中，从而避免了每次遇到各个子问题时重新计算的情况。
比较分治法于动态规划的区别：
分治法：将问题划分为一些独立的子问题，递归的求解各子问题，然后合并子问题的解而得到原问题的解。
eg.
MERGE-SORT(A, p, r) 1 if p < r 2 then q ← |(p + r)/2| 3 MERGE-SORT(A, p, q) 4 MERGE-SORT(A, q + 1, r) 5 MERGE(A, p, q, r)动态规划：适用于子问题不是独立的情况，也就是各子问题包含公共的子子问题，鉴于会重复的求解各子问题，DP对每个问题只求解一遍，将其保存在一张表中，从而避免重复计算。DP算法的设计可以分为四个步骤：
①.描述最优解的结构。
②.递归定义最优解的值。
③.按自底而上的方式计算最优解的值。
④.由计算出的结果创造一个最优解。
下面来看看三角形求值这个问题：
将一个由N行数字组成的三角形，如图所以，设计一个算法，计算出三角形的由顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。
这是在我见过的DP题目中，算是最简单的了，我相信就算没有学过DP的也会。
将上图转化一下：
假设上图用map[][]数组保存。
令f[i][j]表示从顶点(1, 1)到顶点(i, j)的最大值。
则可以得到状态转移方程：
f[i][j] = max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + map[i][j]
此题既适合自顶而下的方法做，也适合自底而上的方法，
当用自顶而下的方法做时，最后要在在最后一列数中找出最大值，
而用自底而上的方法做时，f[1][1]即为最大值。
所以我们将图2根据状态转移方程可以得到图3：
补充：综合编程 , 其他综合 ,
