KMP算法
先从一般的字符串查找算法推导。
现在我们要在字符串S里面查找字符串D,则一般算法是
[plain]
position = 0
WHILE position < S.length //枚举D在S中的位置position
result = Match(S, D, position); //看在position位置上D能匹配S几个字符,从左到右比较匹配
IF (result == D.length) RETURN position; //若D在position上能批评D.length个字符,表示D就出现在这个位置
position += 1; //尝试下一个位置
END
return -1; //没有找到D
这个算法时间复杂度比较高,上界是两个字符串长度的乘积。
我们发现,这个算法有时候做了很多无用功,比如
D = "abcd"
假设 position=0 时, Match(S, D, 0) = 3。那我们肯定知道 S = "abc????..." (?表示未知字母,...表示省略后面的字符),如果我们下一次让position = 1,就是 "abcd" 和 "bc??" 匹配,直接从第一位就可以看出是不可能相等的(‘a’ != 'b'),所以没有必要尝试这个位置。同样的,position=2时(“abcd" 匹配 "c????")也不可能相等;position=3时,"abcd" 和 “????” 匹配,有可能相等,才尝试这个位置。
综上所述,在position=0时得到了Match的结果3。我们利用这个结果3,以及D的前三位字符 这些信息 确定了position=1和2时肯定不可能匹配成功。所以可以直接尝试position=3,减少尝试匹配次数。
充分利用信息,减少不必要的操作。
我们于是想到,利用D的内容,和每次Match的结果(从开头起多少个字符匹配成功),可以推断出position下一次的位置。我们设这个过程为 Next(D, count),position的尝试变为 position += Next(D, result)。对于上面的情况就是 position=0 时, Match(S, D, position) = 3,Next(D, 3) = 3; position += 3; ==> position=3时blablabla……
即,代码变为
[plain]
position = 0
WHILE position < S.length //枚举D在S中的位置position
result = Match(S, D, position); //看在position位置上D能匹配S几个字符
IF (result == D.length) RETURN position; //若D在position上能批评D.length个字符,表示D就出现在这个位置
position += Next(D, result); //尝试分析得到的下一个位置
END
return -1; //没有找到D
下面问题就是如果设计Next(D, count)这个函数。
我们可以知道在算法运行过程中D不会改变,而count是一个0到D.length的数值。我们求出count = 0 到 D.length 下 Next(D, count) 的值,存到一张表里,每次查表就行了。
即
[plain]
next = GenerateNextTable(D)
position = 0
WHILE position < S.length //枚举D在S中的位置position
result = Match(S, D, position); //看在position位置上D能匹配S几个字符
IF (result == D.length) RETURN position; //若D在position上能批评D.length个字符,表示D就出现在这个位置
position += next[result]; //尝试分析得到的下一个位置
END
return -1; //没有找到D
下面重点就是GenerateNextTable(D)的过程,也就是产生next 数组的过程。next 数组可以简单求出,也可以用更快的算法产生。(由于不会做图,下面有一堆描述,为方便不同种类的阅读,灰色的是说明,可忽略;绿色是定义;红色是算法流程公式;蓝紫色是建议)
如果你尝试了,会知道直接递推出next数组是比较困难的。我们观察发现,若next[i] = k, 则有 D[0..i-k-1] = D[k, i-1]。即把D的前i位拿出来当一个新字符串str,str的前面i-k个字符和str的后面i-k个字符是相等的。而且我们发现,按照next的定义,(i-k)一定是个最大值使str前i-k位和后i-k位相同(k!=0)。因为k相当于position跳过的步数,我们不能跳过有可能匹配的位置。比如说匹配过程中知道S从position开始是这样一个情况abcde???... (没加双引号:字母代表变量字符,而非确定字符;?代表未知字符),那么若abc = cde,我们就知道position 增加 2 是可以的(abcde... 匹配 cde???...,前三位相同,后面不知道是否相同,可能会匹配成功),若ab=de,那么position增加3也是可以的,但是我们肯定是让position增加2,因为不能漏掉这个可能。也就是说k有多种可能时取最小,则i-k最大的值。(有点绕,用笔画画会清楚不少)
于是我们定义这样一个操作,对于一个字符串str,它最长有w位前缀等于它的w位后缀,我们称w为str的P值。我们可以知道,next[i] 就等于 i 减去 D[0..i-1 ]的P值(若D[0..i-1]构成的字符串前w位和后w位相同,则若Match结果为i,我们可以直接把position 加上 i-w,请拿纸和笔推导下)。我们先求出每个i,D[0..i-1] 的P值P[i],然后next[i] = i - P[i]。
求P[i]的话这样做,假设我们知道P[i-1] = k,那么如果 D[i-1] == D[k] 则 P[i] = k+1。(即为新添的一个字符正好等于前缀后面那个字符,请拿纸和笔推导具体下标的产生)。如果D[i-1] != D[k],看起来会很难办,难道要一个个向前枚举k了么?不,最精华的一点到来了,我们令k=P[k],继续上面的过程。虽然P[k]所作用的区域已经是D[0..k-1]了,但是我们之前有P[i-1] = k,可以知道D[0..k-1] 和 D[i-1-k..i-2]是相同的,那么D[k-1-P[k]..k-1]也会和D[?..i-2]相同(建议画图理解)。这样减少了k不必要的枚举,且不会漏掉最优解(仔细考虑)。此外我们预设P[0] = -1,k等于-1时令P[i]=0 (k减少到-1意味着P值为0)。
把上面所述红色部分提取出来就能得到next的产生了,时间复杂度是O(n)的,n为D的长度,不证明了,直接给出C语言函数
[C++]
int *GenerateNextTable(const char *D) {// next[i],前i个字符匹配成功,需要前进几步
int L = strlen(D);
int *next = (int *)malloc(sizeof(int) * L);
int P[L+1], i, j;
P[0] = -1;
for (i=1; i<=L; i++) {
j = P[i-1];
while (j>=0 && D[j]!=D[i-1]) {
j = P[j];
}
P[i] = j + 1;
}
next[0] = 1;
for (i=1; i<=L; i++) {
next[i] = i - P[i];
}
return next;
}
同样的,根据更上面描述,我们写出另外两个函数的C代码
[C++]
int Match(const char *S, const char *D, int start) {
int i;
for (i=0; D[i]; i++)
if (S[i+start] != D[i]) break;
return i;
}
int KMP(const char *S, const char *D) {
int position = 0, L = strlen(D);
int *next = GenerateNextTable(D);
while (S[position]) {
int result = Match(S, D, position);
if (result == L) break; //find it
position += next[result];
}
free(next);// free memory
return S[position] ? position : -1; // return answer
}
OK,经测试,这三个函数工作的很好,事情到此结束了么?不!
充分利用信息,减少不必要的操作。
想一下,我们在查找过程中,利用到了这次匹配前 i 个成功了以及D的内容这两个信息,推断出下一个position的位置,减少了不必要的Match操作。可是由一个信息我们还没有利用到,就是第 D[i+1] 和 S[position+i+1] 不想等。
试想,假设 我们用 "aa" 匹配到了 “a?...", 按照上面所求的结果,position应该增加1,因为前1个成功了,而next [1]总归是1的。但是我们发现,?和
补充:综合编程 , 其他综合 ,
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