聆听混沌的声音
本世纪70年代初，美国普林斯顿大学的生态学家R.May在研究昆虫群体繁殖规律时提出一个著名的模型： χ[n＋1]=k＊χ[n]＊（1－χ[n]）
其中χ[n]表示第n代群体的数目。当给定一个初始的χ[0]值，然后不停地迭代，人们发现随着k值的不同，得到的序列χn 有许多有趣的现象。当k值介于0与1之间时，χ[n]经过一定次数的迭代后都趋于0.当k值介于1和3之间时趋于1/k，当k值大于3时，经过一定次数的迭代后χ[n]在2个值之间交替变化，k值增加到3.449附近时，交替变化值又变为4个。继续增加k值，χ[n]交替变化的值的个数依4→8→16→32的次序迅速加倍，终于一片混沌。但当k值在3.835附近时，经过一定次数的迭代后，χ[n]非常简单地在3个值之间交替变化，接着又迅速依3→6→12的次序迅速增长。如此反复，在简单的方程中隐藏着令人惊奇的复杂性。χ[n]随k的变化情况如下图所示：
为了体现这种复杂之中的无穷奥妙，下面这个用TC2.0编写的小程序用χ[n]大小来控制PC喇叭的发音频率，设定不同的k值，我们就可以聆听到混沌的声音。
＃include
＃include
main(){
int fMin=20,fMax=16000; /＊fMin代表最低频率，fMax代表最高频率＊/
int fDis,i,j; /＊fDis代表最高频率和最低频率之间的差值＊/
/＊i,j用于循环记数＊/
float x=0.1,k; /＊x代表x[n]的大小，设定其初始值为0.1，即x[0]=0.1＊/
fDis=fMax－fMin;
for(j=1;;j＋＋){
printf("Please input The value of k(1－4.0)\n"); /＊输入k值＊/
printf("If you want to quit,Please input:0\n"); /＊如果k=0退出＊/
scanf("％f",＆k);
if (k==0) break;
for(i=1;i<100;i＋＋) /＊去除开始的100个点＊/
x=k＊x＊(1－x);
for (i=1;i<100;i＋＋){
x=k＊x＊(1－x); /＊计算x的值＊/
sound(x＊fDis＋20); /＊用x的值控制PC喇叭的发音频率＊/
delay(1000); }
nosound(); }}
＃include
main(){
int fMin=20,fMax=16000; /＊fMin代表最低频率，fMax代表最高频率＊/
int fDis,i,j; /＊fDis代表最高频率和最低频率之间的差值＊/
/＊i,j用于循环记数＊/
float x=0.1,k; /＊x代表x[n]的大小，设定其初始值为0.1，即x[0]=0.1＊/
fDis=fMax－fMin;
for(j=1;;j＋＋){
printf("Please input The value of k(1－4.0)\n"); /＊输入k值＊/
printf("If you want to quit,Please input:0\n"); /＊如果k=0退出＊/
scanf("％f",＆k);
if (k==0) break;
for(i=1;i<100;i＋＋) /＊去除开始的100个点＊/
x=k＊x＊(1－x);
for (i=1;i<100;i＋＋){
x=k＊x＊(1－x); /＊计算x的值＊/
sound(x＊fDis＋20); /＊用x的值控制PC喇叭的发音频率＊/
delay(1000); }
nosound(); }}
执行上面的小程序时，k值就相当于一个“调音旋钮”。当将k值设定在1与3之间时，喇叭里传出的只有一个音调，重复又烦人。当k值稍稍大于3时，便开始有了韵律：so－mi－so－mi…。k值增加到3.449时，变成了so－fa－la－mi－so－fa－la－mi…，再增加k值，韵律更加复杂，终于成了现代抽象派作曲家的音乐作品。但是韵律并不是随着k值的增加无限地复杂下去。在k值增加到3.835时，音调又变成了mi－so－ti－mi－so－ti…，再增加k值又迅速地变得更加复杂。不停地改变k值，仔细聆听，会听到混沌中的无限奥妙。
