约瑟夫问题

问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到（m-1）的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人（编号一定是（m-1） mod n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）：
k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k) mod n
如何知道（n-1）个人报数的问题的解？对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f=(f+m) mod i; (i>1）
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1

约瑟夫问题的相关子问题。

1.Poj 3517   And Then There Was One

 题意：固定开始点不是1，而是m。

先去掉一个数,转换成n-1个数的约瑟夫环问题,再将最后结果s=(m+s)%n+1即可.

#include <stdio.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <algorithm>  
#include <string.h>  
#include <math.h>  
#include <iostream>  
using namespace std; 
 
#define Maxn 10100  
 
int f[Maxn]; 
int main() 
{ 
    #ifndef ONLINE_JUDGE  
    freopen("in.txt","r",stdin); 
    #endif  
    int n,m,k; 
    while(scanf(" %d %d %d",&n,&k,&m)!=EOF) 
    { 
        if(n == 0 && m == 0 && k == 0) break; 
        f[1] = 0; 
        for(int i=2;i<=n;i++) 
        { 
            f[i] = (f[i-1] + k)%i; 
        } 
        printf("%d\n",(f[n-1]+m)%n + 1); 
    } 
    return 0; 
} 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <iostream>
using namespace std;

#define Maxn 10100

int f[Maxn];
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    int n,m,k;
    while(scanf(" %d %d %d",&n,&k,&m)!=EOF)
    {
        if(n == 0 && m == 0 && k == 0) break;
        f[1] = 0;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            f[i] = (f[i-1] + k)%i;
        }
        printf("%d\n",(f[n-1]+m)%n + 1);
    }
    return 0;
}

2.Hoj 1016 Joseph's problem I

 每次的间隔是是质数。我们只要预处理筛一次区间范围内的质数即可。

?#include <stdio.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <algorithm>  
#include <string.h>  
#include <math.h>  
#include <iostream>  
using namespace std; 
 
#define Maxn 50000  
 
int prime[Maxn]; 
int vis[Maxn]; 
int get_Prime(int n) 
{ 
    memset(vis,0,sizeof(vis)); 
    int np = 0; 
    for(int i=2;i<=n;i++) 
    { 
        if(!vis[i]) prime[np++] = i; 
        long long t; 
        for(int j=0;j<np && (t = prime[j]*i)<=n;j++) 
        { 
            vis[t] = 1; 
            if(i%prime[j] == 0) break; 
        } 
    } 
} 
 
int f[Maxn]; 
int main() 
{ 
    #ifndef ONLINE_JUDGE  
    freopen("in.txt","r",stdin); 
    #endif  
    get_Prime(Maxn); 
    int n; 
    while(scanf(" %d",&n)!=EOF && n!=0) 
    { 
        f[1] = 0; 
        for(int i=n-2;i>=0;i--) 
        { 
            f[n-i] = (f[n-i-1] + prime[i]) % (n - i); 
        } 
        printf("%d\n",f[n]+1); 
    } 
    return 0; 
} 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <iostream>
using namespace std;

#define Maxn 50000

int prime[Maxn];
int vis[Maxn];
int get_Prime(int n)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    int np = 0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]) prime[np++] = i;
        long long t;
        for(int j=0;j<np && (t = prime[j]*i)<=n;j++)
        {
            vis[t] = 1;
            if(i%prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

int f[Maxn];
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    get_Prime(Maxn);
    int n;
    while(scanf(" %d",&n)!=EOF && n!=0)
    {
        f[1] = 0;
        for(int i=n-2;i>=0;i--)
        {
            f[n-i] = (f[n-i-1] + prime[i]) % (n - i);
        }
        printf("%d\n",f[n]+1);
    }
    return 0;
}
3.Hoj 1107 Joseph's problem II

k个good guys ,k个bad guys,每次不能杀掉good guy,问最小的m.

解题方法：类似于数组模拟。每次变更start 和end的范围。每次杀掉一个人。下一个的编号变为0。

include <stdio.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <algorithm>  
#include <string.h>  
#include <math.h>  
#include <iostream>  
using namespace std; 
 
#define Maxn 10100  
 
int f[15]; 
bool solve(int k,int m) 
{ 
    int start = 0,end = k - 1; 
    bool flag = true; 
    for(int i=2*k;i>k;i--) 
    { 
        int kill = (m-1)%i; 
        if(kill>=start && kill<=end) 
        { 
            flag = false; 
            break; 
        } 
        start = ((start - m)%i + i)%i; 
        end = ((end - m)%i + i)%i; 
    } 
    return flag; 
} 
void init() 
{ 
    for(int k=1;k<14;k++) 
    { 
        for(int m=k+1;;m++) 
        { 
            if(solve(k,m)) 
            { 
                f[k] = m; 
                break; 
            } 
        } 
    } 
} 
int main() 
{ 
    #ifndef ONLINE_JUDGE  
    freopen("in.txt","r",stdin); 
    #endif  
    init(); 
    int k; 
    while(scanf(" %d",&k)!=EOF && k!=0) 
    { 
        printf("%d\n",f[k]); 
    } 
    return 0; 
} 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <iostream>
using namespace std;

#define Maxn 10100

int f[15];
bool solve(int k,int m)
{
    int start = 0,end = k - 1;
    bool flag = true;
    for(int i=2*k;i>k;i--)
    {
        int kill = (m-1)%i;
        if(kill>=start && kill<=end)
        {
            flag = false;
            break;
        }
        start = ((start - m)%i + i)%i;
        end = ((end - m)%i + i)%i;
    }
    return flag;
}
void init()
{
    for(int k=1;k<14;k++)
    {
        for(int m=k+1;;m++)
        {
            if(solve(k,m))
            {
                f[k] = m;
                break;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    init();
    int k;
    while(scanf(" %d",&k)!=EOF && k!=0)
    {
        printf("%d\n",f[k]);
    }
    return 0;
}

 

 

 

补充：软件开发 , C++ ,

上一个：CF problem 166E Tetrahedron
下一个：poj2923 Relocation