HDU 3480 DP+斜率优化
题意:给你n个数字,然后叫你从这些数字中选出m堆,使得每一堆的总和最小,一堆的总和就是这一堆中最大值减去最小值的平方,最后要使得所有堆加起来的总和最小。思路:对这些数字排序之后,很容易想到DP解法,用dp[i][j]表示数字i现在在第j堆,那么转移方程就是dp[i][j] = min(dp[i][j] , dp[k][j - 1] + (a[i] - a[k + 1]) ^ 2)。因为已经排序,所以这一堆中的最大最小值其实就是a[i]和a[k + 1]。所以用DP可解。
但是注意到这实际上是需要3重循环的,而且N和M分别为10 ^ 4和5 * 10 ^ 3,所以会TLE。
其实看到转移方程后面的部分,我们就应该能想到斜率优化的方法。
假设k < l < i,我们要使得k的决策优于l,那么也就是dp[k][j - 1] + (a[i] - a[k + 1]) ^ 2 < dp[l][j - 1] + (a[i] - a[l + 1]) ^ 2 。
化简得(dp[k][j - 1] + a[k + 1] ^ 2 - (dp[l][j - 1] + a[l + 1] ^ 2)) / (2 * (a[k + 1 ] - a[l + 1])) < a[i] 。
也就是说符合上述斜率要求的k,是优于l的。
我们用g(k ,l )表示k的决策优于l。
那么我们每次更新 dp[i][j]的值的时候,只需要取出最优的决策即可,所以这一维就是O(1) .
进一步说,在第一个while 中,如果这时候队列里有两个元素,qe[l + 1] 和qe[l]。如果这时候g(qe[l + 1] , qe[l])成立,那么这时候qe[l]就不需要再计算了,因为qe[l + 1]的决策比他更优,所以我们只需要找出最优的决策,更新一次即可。
同样的,假设k < l < i 。如果g(i , l ) < g(l , k),那么此时l是可以被优化掉的。因为他不可能是最优解。这就是第二个while的作用。
#include <set> #include <map> #include <stack> #include <cmath> #include <queue> #include <cstdio> #include <string> #include <vector> #include <iomanip> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> #define Max 2505 #define FI first #define SE second #define ll long long #define PI acos(-1.0) #define inf 0x3fffffff #define LL(x) ( x << 1 ) #define bug puts("here") #define PII pair<int,int> #define RR(x) ( x << 1 | 1 ) #define mp(a,b) make_pair(a,b) #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define REP(i,s,t) for( int i = ( s ) ; i <= ( t ) ; ++ i ) using namespace std; #define N 11111 #define M 5555 int dp[N][M] ; int a[N] ; int getU(int j ,int k ,int z){ return dp[k][j - 1] + a[k + 1] * a[k + 1] - (dp[z][j - 1] + a[z + 1] * a[z + 1]) ; } int getD(int k , int z){ return 2 * (a[k + 1] - a[z + 1]) ; } int getDP(int i , int j ,int k){ return dp[k][j - 1] + (a[i] - a[k + 1]) * (a[i] - a[k + 1]) ; } int qe[N * 10] ; void solve(){ int n , m ; cin >> n >> m ; for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ )cin >> a[i] ; sort(a + 1 , a + n + 1 ) ; for (int i = 0 ; i <= n ; i ++ ){ for (int j = 0 ; j <= m ; j ++ ) dp[i][j] = inf ; dp[i][1] = (a[i] - a[1]) * (a[i] - a[1]) ; } dp[0][0] = 0 ; for (int j = 1 ; j <= m ; j ++ ){ int l = 0 , r = 0 ; qe[r ++ ] = 0 ; for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){ while(l + 1 < r && getU(j , qe[l + 1] , qe[l]) <= a[i] * getD(qe[l + 1] ,qe[l]))l ++ ; dp[i][j] = getDP(i , j , qe[l]) ; while(l + 1 < r && getU(j , i , qe[r - 1]) * getD(qe[r - 1] , qe[r - 2]) <= getU(j , qe[r - 1] , qe[r - 2]) * getD(i , qe[r - 1]))r -- ; qe[r ++ ] = i ; } } cout << dp[n][m] << endl; } int main() { int ca = 0 ; int t ; cin >> t ; while(t -- ){ printf("Case %d: ",++ca) ; solve() ; } return 0 ; }
补充:软件开发 , C++ ,