菜鸟都能理解的0-1背包问题的空间优化

如果你不知道什么叫做0-1背包问题，下面是0-1背包问题的简单描述
假设有n件物品
每件物品的体积为w1, w2……wn
   相对应的价值为 v1, v2.……vn。
01背包是在n件物品取出若干件放在空间为total_weight的背包里，使得背包的总体积最大
关于0-1背包问题没有优化版本，请看这里
上面的核心代码是下面这一段
[cpp] 
for (int i = 1; i <= n; i++) {  
  for (int j = 1; j <= total_weight; j++) {  
    if (w[i] > j) {  
      c[i][j] = c[i-1][j];  
    } else {  
        if (c[i-1][j] > v[i]+c[i-1][j-w[i]]) {  
          c[i][j] = c[i-1][j];  
        }  
        else {  
          c[i][j] =  v[i] + c[i-1][j-w[i]];  
        }  
    }  
  }  
}  
 
 
 
注意到状态转移方程 c[i][j] = max{c[i-1][j], c[i-1][j-w[i]]+v[i]}
 
每一次c[i][j]改变的值只与c[i-1][x] {x:1...j}有关c[i-1][x]是前一次i循环保存下来的值，因此，可以将c缩减成一维数组
状态转移方程转换为 c[j] = max(c[j], c[j-w[i]]+v[i]);
并且，我们注意到状态转移方程，每一次推导c[i][j]是通过c[i-1][j-w[i]]来推导的，而不是通过c[i][j-w[i]]
因此，j的扫描顺序应该改成从大到小
否则，第i次求c数组，必然先求的c[j-w[i]]的值(即c[i][j-w[i]])，再求c[j](即c[i][j])的值
由于j递增,那么状态方程就成为下面这个样子了
c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-w[i]]+v[i])显然不符合题意
所以，上面的代码变为
 
 
 
[cpp]  
for (int i = 1; i <= n; i++) {  
   for (int j = total_weight; j >= 1; j--) {  
     if (w[i] > j) {  
       c[j] = c[j]; //表示第i次与第i-1次相等，这里因为c[j]本来就保存这上一次的值，所以这里不需变化  
     } else {  
       //说明第i件物品的重量小于背包的重量，所以可以选择第i件物品放还是不放  
         if (c[j] > v[i]+c[j-w[i]]) {  
           c[j] = c[j];  
         }  
         else {  
           c[j] =  v[i] + c[j-w[i]];  
         }  
     }  
   }  
 }  
 
 
 
最后我们可以做下优化，把不必要的语句去掉即可完成优化
 
 
[cpp] 
for (int i = 1; i <= n; i++) {  
  for (int j = total_weight; j >= w[i]; j--) {  
    if (c[j] <= v[i] + c[j-w[i]])  
      c[j] = v[i] + c[j-w[i]];  
  }  
}  
 
 
如此优美的代码简直无法想象!
注意，空间优化版本最后是求解不出来最优解序列的，但是能求出最优解，也就是最大价值
 

补充：软件开发 , C++ ,

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