复数的问题: 虚数单位i到底是怎么来的？为什么i*i=-1?

   很多人和我一样，学习和很长时间的复数，可是并没有搞懂为什么要提出i*i=-1这么一个奇怪的东东。
     这个问题要学习过抽象代数(近世代数)以后才能解答。简单的说，我们要"构造"一个二维的数域，符合一些基本的运算性质。注意，i的定义是构造出来的，不是分析出来的。
     i*i=-1到底是怎么来的?
(1) 从抽象代数（近世代数）的角度说，数域是需要定义和构造的。例如自然数域，上面可以定义加法和乘法，加法和乘法同时有交换律/结合律等性质。同时，加法有0元，乘法有幺元。
     x+0=x
     x*1=x
     加法和乘法都有逆运算，也就是x+y=0,x*z=1，那么z就是x的逆元。任何非0元素相乘不能=0，否则就会出现定义上的问题。

(2)复数域定义:
定义复数是个有序的实数对(a,b),"有序的意思是，如果a!=b，那么(a,b)和(b,a)就认为是不同的。设x=(a,b),y=(c,d)是两个复数，当且仅当a=c并且b=d时，我们认为x=y(注意，这个定义并不是废话,想想如果(a,b)表示有理数a/b)，我们定义:
x+y=(a+c,b+d)
x*y=(ac-bd,ad+bc) (同一个维度的变量做运算并累加)

注意，为什么这里的ac-bd是减法? 为什么不是加法(a,b)(c,d)=(ac+bd)(bc+ad)----问题(1)
为什么不能第二个运算是减法(a,b)(c,d)=(ac+bd)(bc-ad)

     因为一个良好的"数域"定义，需要符合一些性质，就像自然数的结合律，交换律等等，也就是运算的不变性。为了说明问题(1)，我们定义(a,b)*(c,d)=(ac+xbd, ad+ybc)，其中x,y是未知的系数，那么要符合交换律就必须有:
     (a,b)(c,d)(e,f)=(ac+xbd,ad+ybc)(e,f)=((ac+xbd)e+x(ad+ybc)f,(ac+xbd)f+y(ad+ybc)e)=
     (ace+xadf+xbde+xybcf,acf+xbdf +yade+yybce) -----结果(1)

(a,b)(c,d)(e,f)=(a,b)(ce+xdf,cf+yde)=(a(ce+xdf)+xb(cf+yde),a(cf+yde)+yb(ce+xdf))=
(ace+xadf+xbde+xbcf ,acf+xybdf+yade+ybce ) -----结果(2)

     以上两个结果对比，我们得到: y=1，这很明显。那么x=?
     如果x>0，就如我们问题(1)所示的式子，令x=1，那么会得到（1，1）*（1，-1）=0。两个非零元素相乘竟然=0。
     因此必须有x<0.为了计算方便，定义x=-1，因此复数域的乘法运算就定义为x*y=(ac-bd,ad+bc)

问题: 能否定义成x*y=(ad-bc,ac+bd)之类的? 注意，这样的话乘法交换律等基本定律就不能符合了，此类定义不能得到一个可运算的数域。

(3) 有了复数域的乘法运算定义，我们再次定义符号i=(0,1)。那么根据定义可以计算出i*i=(-1,0)。注意，先有了复数域乘法的定义，然后才有i的定义。不能先用i的定义来反推复数域乘法定义。逻辑顺序不能颠倒。
(4) 直角坐标系和复数坐标系到底有什么区别? ---- 直角坐标系上的元素只定义了加法，如果将直角坐标系的y定义为i轴，加上向量运算法则(复数乘法)，就得到复数平面坐标系。

总结: 先有了复数域的构造: 2维向量的加法和乘法运算，并且运算要满足一些基本的运算性质。然后才有令i=(0,1)，于是根据乘法运算的构造，有了i*i=-1。

补充：综合编程 , 其他综合 ,