SGU 261 Discrete Roots
给定p,k,a,其中p,k是素数,求x^k=a (mod p)。
传说中的much 易做图r task。。。。
设r是p的原根,(素数都有原根)
那么r^1,r^2...r^phi(p)构成模p的完全剩余系,
故可设x=r^i ,a=r^j,那么等式化成
r^(i*k)=r^j (mod p)
那么由定理可得 i*k=j (mod p-1)
由r^j=a mod p 可由离散对数求得j
由i*k=j mod p-1 可由模线性方程求得i
由x=r^i 求得x
然后对所有x取余后排序,输出即可。
[cpp]
#include<map>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
vector<ll>f,as;
ll pow(ll a,ll b,ll mod){
ll as=1;
while(b){
if(b&1)as=(as*a)%mod;
a=(a*a)%mod;b>>=1;
}
return as;
}
bool g_test(ll g,ll p){
for(ll i=0;i<f.size();i++)
if(pow(g,(p-1)/f[i],p)==1)
return 0;
return 1;
}
ll yuangen(ll p){
f.clear();
ll tmp=p-1;
for(ll i=2;i<=tmp/i;i++)
if(tmp%i==0){
f.push_back(i);
while(tmp%i==0)
tmp/=i;
}
if(tmp!=1)f.push_back(tmp);
ll g=0;
while(++g)
if(g_test(g,p))
return g;
}
ll discrete_log(ll x,ll n,ll m){//x^y=n (mod m) 求 y
map<ll,int>rec;
ll s=(ll)(sqrt(m)+0.5);
ll cur=1;
for(int i=0;i<s;i++){
rec[cur]=i;
cur=cur*x%m;
}
ll mul=cur;
cur=1;
for(int i=0;i<s;i++){
ll more=n*pow(cur,m-2,m)%m;
if(rec.count(more))return i*s+rec[more];
cur=cur*mul%m;
}
return -1;
}
ll ex_易做图(ll a,ll b,ll& x,ll& y){
if(b==0){
x=1;y=0;
return a;
}
else{
ll r=ex_易做图(b,a%b,y,x);
y-=x*(a/b);
return r;
}
}
void line_mod_equation(ll a,ll b,ll n){//ax=b (mod n) 求x
ll x,y,d;as.clear();
d=ex_易做图(a,n,x,y);
if(b%d==0){
x%=n;x+=n;x%=n;
as.push_back(x*(b/d)%(n/d));
for(ll i=1;i<d;i++)
as.push_back((as[0]+i*n/d)%n);
}
}
int main(){
ll a,k,p,g,q;
while(~scanf("%lld%lld%lld",&p,&k,&a)){
if(a==0){puts("1\n0");continue;}//a==0特判
g=yuangen(p);
q=discrete_log(g,a,p);
line_mod_equation(k,q,p-1);
for(int i=0;i<as.size();i++)
as[i]=pow(g,as[i],p);
sort(as.begin(),as.end());
printf("%d\n",as.size());
for(int i=0;i<as.size();i++)
printf("%lld%c",as[i],i==as.size()-1?'\n':' ');
}
return 0;
}
补充:软件开发 , C++ ,