fibonacci数列和跳台阶问题
首先百度之后知道，fibonacci数列其实在科学中有着广泛的应用，下面一句话引子百度百科：在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。
了解fibonacci数列的人都知道它的推到公式：
0 n=0
f(n)=1 n=1
f(n-1)+f(n-2) n>=2
有时候遇到的问题是如何求解fibonacci数列的各项的值，我记得有两种方法，就是递归方法和应用循环的方法。下面给出两种程序的代码：
[cpp]
#include<stdio.h>
int fibonacci_recursion(int n)
{//递归算法
int result[2]={0,1};
if(n<2)
return result[n];
else
return fibonacci_recursion(n-1)+fibonacci_recursion(n-2);
}
int fibonacci_non_recursion(int n)
{//非递归算法
int result[2]={0,1};
if(n<2)
return result[n];
int i;
int fa=0,fb=1,fc;
for(i=1;i<n;i++)
{
fc=fa+fb;
fa=fb;
fb=fc;
}
return fc;
}
void main()
{
int n;
printf("input n value:");
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",fibonacci_recursion(n));
printf("%d\n",fibonacci_non_recursion(n));
}
上面的两个方法都是在O(N)的时间内得到解，但是在csdn的论坛上看到有人说，可以再O(logn)时间内求得fibonacci数列的第n项值，于是google了一下，找到了一篇博文，的确可以在O(logn)内求解。
有一个数学公式：{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1。
(注：{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一个矩阵。在矩阵中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。)
下面就来证明一下这个公式的正确性：fibonacci的第0项为0，第一项和第二项分别是1，所以有公式{1,1,1,0}，然后第三项为2，那么有公式{2,1,1,1}，此时k=3，则计算第一个公式的平方结果是{2,1,1,1}，结果正对，假设k=n-1时，公式成立，就有{f(n-1), f(n-2), f(n-2), f(n-3)} ={1, 1, 1,0}n-2
由fibonacci数列的递推式可以得到{f(n),f(n-1),f(n-1),f(n-2)}={f(n-1)+f(n-2),f(n-1),f(n-2)+f(n-3),f(n-2)},因为计算的原因，公式中第二项和第四项不用代换，可以看出，这个结果就是{f(n-1), f(n-2), f(n-2), f(n-3)}与{1,1,1,0}相乘的结果。故原式得证。
如果简单第从0开始循环，n次方将需要n次运算，并不比前面的方法要快。但我们可以考虑乘方的如下性质：
/ an/2*an/2 n为偶数时
an=
\ a(n-1)/2*a(n-1)/2 n为奇数时
要求得n次方，我们先求得n/2次方，再把n/2的结果平方一下。如果把求n次方的问题看成一个大问题，把求n/2看成一个较小的问题。这种把大问题分解成一个或多个小问题的思路我们称之为分治法。这样求n次方就只需要logn次运算了。
实现这种方式时，首先需要定义一个2×2的矩阵，并且定义好矩阵的乘法以及乘方运算。当这些运算定义好了之后，剩下的事情就变得非常简单。完整的实现代码如下所示。
[cpp]
<span style="font-family:Simsun;">#include<stdio.h>
#include<assert.h>
struct Matrix2By2
{
int m_00;
int m_01;
int m_10;
int m_11;
Matrix2By2(int m00=0,int m01=0,int m10=0,int m11=0):m_00(m00),m_01(m01),m_10(m10),m_11(m11)
{
}
};
Matrix2By2 MatrixMultiply(const Matrix2By2& matrix1,const Matrix2By2& matrix2)
{
return Matrix2By2(
matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
}
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
assert(n>0);
Matrix2By2 matrix;
if(n==1)
matrix=Matrix2By2(1,1,1,0);
else if(n%2==0)
{
matrix=MatrixPower(n/2);
matrix=MatrixMultiply(matrix,matrix);
}
else if(n%2==1)
{
matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
}
return matrix;
}
int fibonacci_solution(unsigned int n)
{
int result[2] = {0, 1};
if(n < 2)
return result[n];
Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
return PowerNMinus2.m_00;
}
void main()
{
unsigned int n;
printf("input n value:");
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",fibonacci_solution(n));
}</span>
运行，能得到正确的结果。就像题目所说，给我fibonacci在我们计算机中的一个应用吧，就是跳台阶的问题。给定n个台阶，有两种选择，就是一次可以跳一个台阶，还有是一次可以跳两个台阶。求总共有多少总跳法，并分析算法的时间复杂度。把n级台阶时的跳法看成是n的函数，记为f(n)。当n>2时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：一是第一次只跳1级，此时跳法数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目，即为f(n-1)；另外一种选择是第一次跳2级，此时跳法数目等于后面剩下的n-2级台阶的跳法数目，即为f(n-2)。因此n级台阶时的不同跳法的总数f(n)=f(n-1)+(f-2)。
我们把上面的分析用一个公式总结如下：
/ 1 n=1
f(n)= 2
补充：软件开发 , C++ ,
