求逆序数
一、问题描述
先来说明一下什么是逆序数。大家比较熟悉的是自然排序，即数值较小数排在数值较大数的前面。而如果数值较大的数排在了数值较小数的前面则逆序数的个数+1。举个例子如果有序列4,5,2,1,3，则这个序列总共有(4,2), (4,1), (4,3), (5,2), (5,1), (5,3), (2,1)总共7个逆序数。这个问题的需求就是现有一个文件，每行有一个数字(数值小于100000的正整数)，所有数字不重复，求这个文件中所有数的逆序数的个数。
这个问题是一个较为常见的问题，我把这个问题放在归并排序后面来介绍是因为，它可以用归并排序稍加改动即可实现问题的解答。在后面进行详细叙述。
二、问题分析
根据逆序数的定义可知，一种最为直白的方法就是暴力求解。所谓暴力求解就是从数组中第一个元素开始直到最后一个元素，发现逆序数进行计数器+1操作。伪代码如下：
[cpp]
for i : 1 to n - 1
for j : i + 1 to n
if(a[i] > a[j])
++count
++j
++i
for i : 1 to n - 1
for j : i + 1 to n
if(a[i] > a[j])
++count
++j
++i这种暴力解决的方法显然时间复杂度很高()，所以要考虑有没有时间复杂度更低的算法。在前面说过，这个问题放到归并排序后给出是因为这个问题可以用归并算法稍加改动实现。这样一来，我们就可以把时间复杂程度降为O(nlgn)了。下面我们用归并算法的思路来简单分析一下这个问题。
归并算法的主要思想是把原问题分半成两个子问题，在分别解决两个子问题，并将两个子问题进行合并。那么，我们把这种想法应用到求逆序数中来。即把原问题分成两半，分别求这两个子问题的逆序数，在求合并时满足要求的逆序数。我们再进一步分析这个问题。应用归并排序的算法思路，那么在进行递归到最后的时候，即子问题只有一个元素时，显然不需要排序，也就是说不需要求逆序数(即逆序数的个数为0)，往上进行递归时，左右两个字序列都已经排好序了，也就是说他们已经是自然序列，逆序数为0。这么一来，逆序数就是合并过程中产生的逆序数的个数。值得注意的是，这时候两边的字序列已经有序，那么不妨设为A和B两个字序列，如果A中第i个元素比B中的第j个元素大的话，那么A中第i个元素后面的所有元素都会比B中的第j个元素大，即这时产生的逆序数的个数为length(A) - i + 1。知道了这个关系，那么也就知道了怎么来计算逆序数的个数了。
具体的算法步骤请参照前面的《排序-归并排序》，这里就不再给出。
三、程序实现
从文件中读取数字：
[cpp]
int
read_numbers(char * sourceFile)
{
FILE *fptr = NULL;
char oneLine[9];
char charNumebr[9];
int index = 0;
if(NULL == (fptr = fopen(sourceFile, "r")))
{
fprintf(stderr, "Cannot open the input file\n");
exit(0);
}
fgets(oneLine, 9, fptr);
while(!feof(fptr))
{
strncpy(charNumebr, oneLine, strlen(oneLine) - 1);
charNumebr[strlen(oneLine) - 1] = 0;
numbers[index] = atoi(charNumebr);
index++;
fgets(oneLine, 9, fptr);
}
if(-1 == fclose(fptr))
{
printf("The input file failure to close\n");
exit(0);
}
return index;
}
int
read_numbers(char * sourceFile)
{
FILE *fptr = NULL;
char oneLine[9];
char charNumebr[9];
int index = 0;
if(NULL == (fptr = fopen(sourceFile, "r")))
{
fprintf(stderr, "Cannot open the input file\n");
exit(0);
}
fgets(oneLine, 9, fptr);
while(!feof(fptr))
{
strncpy(charNumebr, oneLine, strlen(oneLine) - 1);
charNumebr[strlen(oneLine) - 1] = 0;
numbers[index] = atoi(charNumebr);
index++;
fgets(oneLine, 9, fptr);
}
if(-1 == fclose(fptr))
{
printf("The input file failure to close\n");
exit(0);
}
return index;
}递归进行逆序数的计算：
[cpp]
int
merge_count(int *numbers, int begin, int end)
{
int merge(int *, int, int, int);
int middle;
if(begin < end)
{
middle = (end + begin) / 2;
merge_count(numbers, begin, middle);
merge_count(numbers, middle + 1, end);
merge(numbers, begin, middle, end);
}
return 0;
}
int
merge_count(int *numbers, int begin, int end)
{
int merge(int *, int, int, int);
int middle;
if(begin < end)
{
middle = (end + begin) / 2;
merge_count(numbers, begin, middle);
merge_count(numbers, middle + 1, end);
merge(numbers, begin, middle, end);
}
return 0;
}两个排序好的子序列逆序数的计算：
[cpp]
int
merge(int *numbers, int begin, int middle, int end)
{
int n1 = middle - begin + 1;
int n2 = end - middle;
int* numbers1 = (int*)malloc((n1 + 1) * sizeof(int));
int* numbers2 = (int*)malloc((n2 + 1) * sizeof(int));
int i,
j,
k;
for(i = 0; i < n1; i++)
numbers1[i] = numbers[begin + i];
numbers1[i] = MAX;
for(i = 0; i < n2; i++)
numbers2[i] = numbers[middle + i + 1];
numbers2[i] = MAX;
i = 0;
j = 0;
for(k = begin; k < end + 1; k++)
{
if(numbers1[i] < numbers2[j])
{
numbers[k] = numbers1[i];
i++;
continue;
补充：软件开发 , C++ ,
