顺序统计学总结


 
先来看一个问题：“给定一个无序的序列，求序列的中位数。”
正常的答案都是“先排序，再取A[n/2]，花费O(nlgn)”，学习完本文后，发现其实能够在O(n)求出中位数。
但是要注意，有些场景下前一种方法更好，比如说：“要分别求第1个顺序统计量、第二个顺序统计量、第三个顺序统计量、....、第n个顺序统计量”，如果使用“先排序后取”的方法只要 O (nlgn)，但是后一种方法，则要O(n^2)（n次select方法）。
 
顺序统计学要解决的问题是：“给定一个无序序列，问第k个小的数是什么？”
顺序统计学的算法是基于快速排序的partition函数，并运用了分治法的思想。
第i个顺序统计量：第i个最小的值。
 
本文将结合一些习题以便更好地讲解本主题。
 
伪代码：

 
最坏情况运行时间： O (n^2)
最好情况运行时间： O (1)
期望运行时间： O (n)
 
算法导论9.2-1中问：“对于上面的randomized_select，一定不会出现长度为0的递归调用”，因为在randomized_select中，我们的目的要求出第i个顺序统计量，因为调用randomized(A,a,b,i)，的条件是A[a,...,b]之间一定有第i个顺序统计量，因此如果调用了长度为0的数组，则与条件矛盾。
 
接下来要证明为什么期望运行时间是 O (n)。
(下述证明需要假设所有元素都是不相同的)
设随机变量T(n)表示select算法的运行时间，E(T(n))表示select算法的期望运行时间。
我们假设按照最坏情况来讨论，即如果划分了两个子数组后，都调用较长的那个子数组。
 
T(n)所有的情况如下图所示：

 
通过替换法即可证明E(T(n))=O(n)
 
 
而上面导致最坏情况出现的原因是randomized_partition的不确定性，怎么样能够得到一个好的划分呢？
Blum、Floyd、Pratt、Rivest、Tarjan发现了一个最坏情况还是线性时间的选择算法。
 
这个算法的基本思想是：每次找到的都是一个好的划分，这样就能保证select的时间是O(n)。具体细节可以看算法导论9.3节，这里我要提一些书上没有的：
(1)书上说的“分组，每组5个元素”，此处每组5个元素是最低要求，即只要大于等于5都可以，但是如果每组4个元素，则划分就不是一个好划分。
算法导论9.3-1中就需要证明如果每组3个元素，select就不是线性时间的了。
 
总结一句话：其实这个算法我们只要把他当做一个封装的子程序来用就可以了：“select(A,p,q,i)方法一定能够在线性时间找出A[p...q]中第i个小的元素。”
 
百度面试题：假设一整型数组存在若干正数和负数，现在通过某种算法使得该数组的所有负数在正数的左边，且保证负数和正数间元素相对位置不变。时空复杂度要求分别为：O(n)和O(1)

补充：综合编程 , 其他综合 ,