n!=2^k的双调排序网络
排序网络
n!=2^k的双调排序网络
经典的双调排序网络的设计是用来解决输入长度n=2^k的情况。下面提出了一种对于任意n的双调排序网络算法，它的正确性来自于0-1原理。
问题：
对于长度为n=2^k的双调排序网络包含如表1所示的三块。左边两块是双调排序网络，把原序列均分为两半，分别按升序和降序排列；右边一块是双调合并网络，归并两半有序序列，得到整个有序序列。
图1：双调排序（2^k）的结构
基础定义：
定义：a = a0,…,a(n-1)是一个0-1序列。
当序列只包含0时，我们称a为清洁的0序列，即a0,…,a(n-1) = 0.
当序列只包含1时，我们称a为清洁的1序列，即a0,…,a(n-1) = 1.
如果a序列是由一个清洁的0序列后接一个清洁的1序列构成的，那么我们称a单调递增，即a0,…,a(k-1) = 0, ak,…,a(n-1) = 1.
如果a序列是由一个清洁的1序列后接一个清洁的0序列构成的，那么我们称a单调递减，即a0,…,a(k-1) = 1, ak,…,a(n-1) = 0.
如果a序列依次由一个清洁的0序列、一个清洁的1序列和一个清洁的0序列构成，那么我们称a序列双调递增，即a0,…,a(k-1)= 0, ak,…,a(m-1) = 1, am,…,a(n-1) = 0.
如果a序列依次由一个清洁的1序列、一个清洁的0序列和一个清洁的1序列构成，那么我们称a序列双调递减，即a0,…,a(k-1)= 1, ak,…,a(m-1) = 0, am,…,a(n-1) = 1.
根据这个定义，一个清洁的序列既可以被称作单调递增，也可以被称作单调递减。相似的，一个单调序列既可以被称作双调递增，也可以被称作双调递减。图2展示了双调序列的一些例子，其中，白色部分代表0，灰色部分代表1，箭头代表特殊情况关系（如清洁的0序列是双调递增序列的一种特殊情况）。
图2：双调序列的例子
定理：设定a是一个0-1序列，如果a是一个清洁的0/1序列或单调递增/减序列或双调递增/减序列，那么a的子序列a’也是。
想法：
标准的双调排序使用了比较网络Bp（p=2^k），我们根据比较网络Bp推导出对于任意n的网络Bn，p是大于的第一个2的幂次方，然后仅仅对n-p/2的元素使用比较网络。图3展示了n=6时的比较网络Bn，把它嵌入到p=8的比较网络Bp，仅仅使用了前两个比较器。
图3：比较网络Bp应用于长度为n的双调递减0-1序列a
定理：n!=2^k，p是大于n的最小的2的幂次方，对双调递减0-1序列a应用比较网络Bn，产生序列b和c具有以下特性（图3中）：
|b| = p/2, b =2^k，
对任意I，j有bi <= cj，
b是双调序列，c是双调递减序列。
证明：如果输入的长度为n的双调递减a被用1填充为长度为p的序列a’，那么这个序列仍保持双调递减。应用比较网络Bp将产生两个双调序列b和c’，|b| = p/2，对于任意i和j，bi <= cj（见标准双调排序）。由于填充的1保持在末尾不变，所以c’双调递减。如果不考虑后面填充的1，序列c’的子序列c也是双调递减。后面属于Bp却不属于Bn的比较是多余的，因此网路Bn应用于序列a会得到同样的结果。
根据这个定理，应用于双调序列b的比较网络Bp（p=2^n）和应用于双调递减序列c的网络Bn（n任意）的递归程序将产生一个有序序列。
如果排序的方向是递减而非递增，这个定理同样适用于“双调递增”而非“双调递减”。证明时，原序列a用0而非1来填充。
最开始，一个序列通过对前一半递减排序对后一半递增排序得到一个双调递减序列。图4展示了对任意输入长度n的双调排序网络的结构图，由于这个网络对每一个0-1序列排序，根据0-1原理它对任意长度的0-1序列排序。
图4：对任意输入长度n的双调排序结构图
程序：
下面的程序实现了对于任意输入长度n的双调排序
[java]
Sorter s=new BitonicSorterForArbitraryN();
s.sort(b);
数组b通过双调排序排序。
[java]
public class BitonicSorterForArbitraryN implements Sorter
{
private int[] a;
private final static boolean ASCENDING=true; // sorting direction
public void sort(int[] a)
{
this.a=a;
bitonicSort(0, a.length, ASCENDING);
}
private void bitonicSort(int lo, int n, boolean dir)
{
if (n>1)
{
int m=n/2;
bitonicSort(lo, m, !dir);
bitonicSort(lo+m, n-m, dir);
bitonicMerge(lo, n, dir);
}
}
private void bitonicMerge(int lo, int n, boolean dir)
{
if (n>1)
{
int m=greatestPowerOfTwoLessThan(n);
for (int i=lo; i<lo+n-m; i++)
compare(i, i+m, dir);
bitonicMerge(lo, m, dir);
bitonicMerge(lo+m, n-m, dir);
}
}
private void compare(int i, int j, boolean dir)
{
if (dir==(a[i]>a[j]))
exchange(i, j);
}
private void exchange(int i, int j)
{
int t=a[i];
a[i]=a[j];
a[j]=t;
}
private int greatestPowerOfTwoLessThan(int n)
{
int k=1;
while (k<n)
k=k<<1;
return k>>1;
}
}
网络：
例如，图5展示了输入长度为6的双调排序网络。
图5：输入长度为6的双调排序网络
分析：
这个对于任意n的新排序网络可以嵌入原始的对于2^k的双调排序网络。因此，它仍有 log(n) · (log(n) + 1) / 2 层，每层最多比较n/2次，结果是一个复杂度为O(nlog(n)^2)的比较器，跟原始的双调排
补充：综合编程 , 其他综合 ,
