hdu 2255 二分图—最优匹配

最优匹配：使二分图的边权和最大的完备匹配。（如果二分图的两个点集不相等可以通过加 ’点‘ 和 ’权值为0的边‘ 实现转化）

相关概念
可行顶标：若L(x)是顶点x对应的顶标值。可行顶标对于图中的每条边(x,y)都有L(x)+L(y)>=w(x,y)
相等子图：只包含L(x)+L(y)=w(x,y)的边的子图

算法流程

设顶点Xi的顶标为a[i]，顶点Yi的顶标为b[i]

ⅰ.初始时，a[i]为与Xi相关联的边的最大权值，b[j]=0，保证a[i]+b[j]>=w(i,j)成立

ⅱ.当相等子图中不包含完备匹配时，就适当修改顶标以扩大相等子图，直到找到完备匹配为止

修改顶标的方法：当从 Xi 开始寻找交错路失败后，得到一棵交错树，对交错树中 X 顶点的顶标减少 d 值， Y 顶点的顶标增加 d 值。
对于图中所有的边 (i,j) 有：

i和j都不在交错树中，边(i,j)仍然不属于相等子图
i和j都在交错树中，边(i,j)仍然属于相等子图
i不在交错树中，j在交错树中，a[i]+b[j]扩大，边(i,j)不属于相等子图
i在交错树,j不在交错树中,边(i,j)有可能加入到相等子图中

为了使a[i]+b[j]>=w(i,j)始终成立,且至少有一条边加入到相等子图中,d=min{a[i]+b[j]-w(i,j)},其中 i 在交错树中, j 不在交错树中。

由于在算法过程一直保持顶标的可行性，所以任意一个匹配的权值和肯定小于等于所有结点的顶标之和，又因为在扩大相等子图过程中优先加入了权值大大边，所以在相等子图中找到的第一个完备匹配就是最优匹配。

[cpp]
include<stdio.h>
#include<string.h>
#define N 305
#define Max 1000000
int w[N][N],linky[N]; //数组 w 记录边权，数组 linky 记录顶点 y 的匹配；
int lx[N],ly[N];       //数组 lx 和 ly 分别记录顶点 x 和 y 的顶标值；
int visx[N],visy[N];   //数组 visx 和 visy 分别记录顶点 x 和 y 是否被访问；
int n,low;             //low 记录每次顶标需要变化的值；
int Find(int x)
{
    int y,t;
    visx[x]=1;
    for(y=0;y<n;y++){
        if(visy[y])continue;
        t=lx[x]+ly[y]-w[x][y];
        if(t==0){
            visy[y]=1;
            if(linky[y]==-1||Find(linky[y])){
                linky[y]=x;
                return 1;
            }
        }
        else{
            if(low>t)low=t;
        }
    }
    return 0;
}
void KM()
{
    int i,x;
    for(x=0;x<n;x++){
        while(1){
            memset(visx,0,sizeof(visx));
            memset(visy,0,sizeof(visy));
            low=Max;
            if(Find(x))break;
            for(i=0;i<n;i++){
                if(visx[i])
                    lx[i]-=low;
                if(visy[i])
                    ly[i]+=low;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int i,j,sum;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        memset(lx,0,sizeof(lx));
        memset(ly,0,sizeof(ly));
        memset(linky,-1,sizeof(linky));
        for(i=0;i<n;i++){
            for(j=0;j<n;j++){
                scanf("%d",&w[i][j]);
                if(lx[i]<w[i][j])
                    lx[i]=w[i][j];
            }
        }
        KM();
        for(i=0,sum=0;i<n;i++){
            sum+=w[linky[i]][i];
        }
        printf("%d\n",sum);
    }
    return 0;
}

补充：软件开发 , C++ ,