编程之美2.18——数组分割
问题：
1. 有一个无序、元素个数为2n的正整数数组，要求：如何能把这个数组分割为两个子数组，子数组的元素个数不限，并使两个子数组之和最接近。
2. 有一个无序、元素个数为2n的正整数数组，要求：如何能把这个数组分割为元素个数为n的两个数组，并使两个子数组之和最接近。
ps: 这只是我对该问题解法的理解，其实感觉还是有点变扭的，如有更好的思考方式，希望告知，谢谢。
1. 解法：
由于对两个子数组和最接近的判断不太直观，我们需要对题目进行适当转化。我们知道当一个子数组之和最接近原数组之和sum的一半时，两个子数组之和是最接近的。所以转化后的题目是：从2n个数中选出任意个数，其和尽量接近于给定值sum/2。
这个问题存储的是从前k个数中选取任意个数，且其和为s的取法是否存在dp[k][s]。之所以将选出的数之和放在下标中，而不是作为dp[k]的值，是因为那种做法不满足动态规划的前提——最优化原理，假设我们找到最优解有k个数（选出的这k个数之和是最接近sum/2的），但在所有k-1数之和中的最优解的前k-1个数之和可能并不是最接近sum/2的，即最优解的子问题并不是最优的，所以不满足最优化原理。因此我们需要将dp[k]的值作为下标存储起来，将这个最优问题转化为判定问题，用带动态规划的思想的递推法来解。
外阶段：在前k1个数中进行选择，k1=1,2...2*n。
内阶段：从这k1个数中任意选出k2个数，k2=1,2...k1。
状态：这k2个数的和为s，s=1,2...sum/2。
决策：决定这k2个数的和有两种决策，一个是这k2个数中包含第k1个数，另一个是不包含第k1个数。
dp[k][s]表示从前k个数中取任意个数，且这些数之和为s的取法是否存在。
[cpp]
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 101
#define MAXSUM 100000
int A[MAXN];
bool dp[MAXN][MAXSUM];
// dp[k][s]表示从前k个数中去任意个数，且这些数之和为s的取法是否存在
int main()
{
int n, i, k1, k2, s, u;
cin >> n;
for (i=1; i<=2*n; i++)
cin >> A[i];
int sum = 0;
for (i=1; i<=2*n; i++)
sum += A[i];
memset(dp,0,sizeof(dp));
dp[0][0]=true;
// 外阶段k1表示第k1个数，内阶段k2表示选取数的个数
for (k1=1; k1<=2*n; k1++) // 外阶段k1
{
for (k2=k1; k2>=1; k2--) // 内阶段k2
for (s=1; s<=sum/2; s++) // 状态s
{
//dp[k1][s] = dp[k1-1][s];
// 有两个决策包含或不包含元素k1
if (s>=A[k1] && dp[k2-1][s-A[k1]])
dp[k2][s] = true;
}
}
// 之前的dp[k][s]表示从前k个数中取任意k个数，经过下面的步骤后
// 即表示从前k个数中取任意个数
for (k1=2; k1<=2*n; k1++)
for (s=1; s<=sum/2; s++)
if (dp[k1-1][s]) dp[k1][s]=true;
// 确定最接近的给定值sum/2的和
for (s=sum/2; s>=1 && !dp[2*n][s]; s--);
printf("the differece between two sub array is %d\n", sum-2*s);
}
2. 解法：www.zzzyk.com
但本题还增加了一个限制条件，即选出的物体数必须为n，这个条件限制了内阶段k2的取值范围，并且dp[k][s]的含义也发生变化。这里的dp[k][s]表示从前k个数中取任意不超过n的k个数，且这些数之和为s的取法是否存在。
[cpp]
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 101
#define MAXSUM 100000
int A[MAXN];
bool dp[MAXN][MAXSUM];
// 题目可转换为从2n个数中选出n个数，其和尽量接近于给定值sum/2
int main()
{
int n, i, k1, k2, s, u;
cin >> n;
for (i=1; i<=2*n; i++)
cin >> A[i];
int sum = 0;
for (i=1; i<=2*n; i++)
sum += A[i];
memset(dp,0,sizeof(dp));
dp[0][0]=true;
// 对于dp[k][s]要进行u次决策，由于阶段k的选择受到决策的限制，
// 这里决策选择不允许重复，但阶段可以重复，比较特别
for (k1=1; k1<=2*n; k1++) // 外阶段k1
for (k2=min(k1,n); k2>=1; k2--) // 内阶段k2
for (s=1; s<=sum/2; s++) // 状态s
// 有两个决策包含或不包含元素k1
if (s>=A[k1] && dp[k2-1][s-A[k1]])
dp[k2][s] = true;
// 确定最接近的给定值sum/2的和
for (s=sum/2; s>=1 && !dp[n][s]; s--);
printf("the differece between two sub array is %d\n", sum-2*s);
}
作者：linyunzju
补充：软件开发 , C++ ,
