堆排序-heapsort


通过一个小程序，说明什么是堆？"堆"这个词最初是在堆排序中提出的，但后来就逐渐指"废料收集存储区"，当然这里不是指"废料收集存储区"。堆数据结构是一种数组对象，由于一棵完全二叉树可以用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储，故堆可以被视为一棵完全二叉树，如下图：

 
 
 
 
 
 
圆圈中的数字表示树中每个节点的值，节点上方的数字表示对应的数组下标。
一个堆的数组A，用length[A]表述数组中的元素个数，heap-size[A]表示本身存放在A中的堆的元素个数，很明显heap-size[A]<=length[A]。
树的根为A[1]，给定某个节点的下标i，很容易计算出其父节点PARENT(i)、左孩子LEFT(i)、右孩子RIGHT(i)的下标：
PARENT(i) --- i/2　　LEFT(i) --- 2i　　RIGHT(i) --- 2i+1
二叉堆有两种：最大堆和最小堆。最大堆满足以下条件：除了根节点以外的每个节点i，有A[PARENT(i)]>=A[i]。即某个节点的值至多和父节点的值一样大，也就是说，在以节点i为根节点的子树中，其子节点的值都不大于该节点的值，由此可得出结论，最大堆根节点的值即是数组A的最大值。最小堆的概念正相反。
堆排序算法使用的是最大堆。下面介绍几个堆排序使用的基本过程：
max_heapify过程，运行时间为O(lg n)，它是保持最大堆性质的关键  
build_max_heap过程，线性时间运行，在无序的数组基础上构造最大堆 
heapsort过程，运行时间为O(lg n)，对一个数组原地进行排序 
保持堆的性质 max_heapify算法如下：
　　max_heapify(A,i) 
　　　　l ← LEFT(i)
　　　　r ← RIGHT(i) 
　　　　if l ≤ heap-size[A] and A[l] > A[i]
　　　　　　then largest ← l
　　　　　　else largest ← i
　　　　if r ≤ heap-size[A] and A[r] > A[largest]
　　　　　　then largest ← r 
　　　　if i ≠ largest
　　　　　　then exchange A[i] <-> A[largest] 
　　　　　　　　max_heapify(A,largest) 
如上述算法描述，首先在数组元素A[i]，其左孩子为A[LEFT(i)]，右孩子为A[RIGHT(i)]中找到最大的那个，将其下标值存储到变量largest中。如果A[i]已经是最大值，则算法结束，否则A[i]与A[largest]交换，从而使节点i及其子节点满足最大堆的性质。此时，以largest节点为根的子树可能违反最大堆的性质，所以需要对该子树递归调用max_heapify。下图展示了这个过程：

该图展示的是max_heapify(A,2)的过程，读者可参考算法自行理解该过程。
建堆 build_max_heap算法如下：
　　build_max_heap(A)
　　　　heap-size[A] ← length[A]
　　　　for i ← length[A]/2 downto 1
　　　　　　do max_heapify(A,i) 
当用数组表示存储了n个元素的堆时，可以证明叶子的下标是n/2+1,n/2+2,...,n。
假设第i个节点是堆中最后一个拥有叶子的节点，则它的节点必定是其左孩子(根据完全二叉树的定义可得) ，则LEFT(i)=2i=n，即其左孩子在数组里的存储位置为n，可得i=n/2，所以从第i+1开始的节点没有子节点，即n/2+1,n/2+2,...,n存储的节点是叶子。
所以build_max_heap算法从第length[A]/2个节点往前开始调用max_heapify来建立最大堆，无需在叶子节点上调用max_heapify。下图是此过程的展示：
 
堆排序 heapsort算法如下：
　　heapsort(A)
　　　　build_max_heap(A)
　　　　for i ← length[A] downto 2
　　　　　　do exchange A[1] <-> A[i] 
　　　　　　　　heap-size[A] ← heap-size[A] - 1
　　　　　　　　max_heapify(A,1) 
首先，将输入数组A构造成最大堆，因为数组中最大元素在根A[1]，则交换A[1]和A[n]来达到最终正确的位置，此时数组元素最大值为A[n]。现在将A[n]从数组中去掉，可以很容易将A[1..n-1]构造成最大堆。原来的根的子女仍是最大堆，但新的根元素可能违反了最大堆性质，这是调用max_heapify(A,1)就可以保持最大堆性质，在A[1..n-1]中构造最大堆。不断重复这个过程，直到堆的大小降到2。
下面给出具体C语言实现代码： 
 1 void swap(int *a,int *b) 
2 { 
3     int temp = *a;
 4     *a = *b;
 5     *b = temp; 
6 } 
7  
8  void max_heapify(int *arr,int i,int size)
 9 {
10     int lt = 2*i+1;    //左孩子
11     int rt = 2*i+2;    //右孩子
12     int large;
13 
14     if(lt<=size-1&&arr[lt]>arr[i])
15         large = lt;
16     else
17         large = i;
18     if(rt<=size-1&&arr[rt]>arr[large])
19         large = rt;
20 
21     if(large!=i)
22     {
23         swap(&arr[i],&arr[large]);
24         max_heapify(arr,large,size);
25     }
26 }
27 
28 void build_max_heap(int *arr,int size)
29 {
30     int i;
31     for(i=size/2;i>=0;i--)
32     {
33         max_heapify(arr,i,size);
34     }
35 }
36
 37 void heapsort(int *arr,int size)
38 {
39     int i,len;
40     len = size;
41     build_max_heap(arr,size);
42 
43     for(i=size;i>=1;i--)
44     {
45         swap(&arr[0],&arr[i-1]);
46         len--;
47         max_heapify(arr,0,len);
48     }
49 }
50 
51 int main(void)
52 {
53     int arr[]={4,1,3,2,16,9,10,14,8,7};
54     int len = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
55     heapsort(arr,len);
56     int i = 0;
57     for(;i<len;i++)
58     {
59         printf("%d ",arr[i]);
60     }
61     return 0;
62 }
end

补充：软件开发 , C语言 ,