算法导论-二叉排序树

一、定义与性质

定义
　　二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找(搜索)树(Binary Search Tree)。其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质的二叉树：
①若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
②若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
③左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
　　上述性质简称二叉排序树性质(BST性质)，故二叉排序树实际上是满足BST性质的二叉树。

性质
　　（1）二叉排序树中任一结点x，其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。
　　（2）二叉排序树中，各结点关键字是惟一的。
注意：
　　实际应用中，不能保证被查找的数据集中各元素的关键字互不相同，所以可将二叉排序树定义中BST性质(1)里的"小于"改为"大于等于"，或将BST性质(2)里的"大于"改为"小于等于"，甚至可同时修改这两个性质。
　　（3）按中序遍历该树所得到的中序序列是一个递增有序序列。

二、插入与删除
插入与删除操作是二叉排序树中最常用也是最重要的两个操作。

       插入过程是：
　　(a)若二叉排序树T为空，则为待插入的关键字key申请一个新结点，并令其为根；
　　(b)若二叉排序树T不为空，则将key和根的关键字比较：
         　　(i)若二者相等，则说明树中已有此关键字key，无须插入。
         　　(ii)若key<T→key，则将key插入根的左子树中。
         　　(iii)若key>T→key，则将它插入根的右子树中。
　　子树中的插入过程与上述的树中插入过程相同。如此进行下去，直到将key作为一个新的叶结点的关键字插入到二叉排序树中，或者直到发现树中已有此关键字为止。

删除过程：

(1) 进行查找
　查找时，令p指向当前访问到的结点，parent指向其双亲(其初值为NULL)。若树中找不到被删结点则返回，否则被删结点是*p。
(2) 删去*p。
　删*p时，应将*p的子树(若有)仍连接在树上且保持BST性质不变。按*p的孩子数目分三种情况进行处理。

         删除*p结点的三种情况
         a.*p是叶子(即它的孩子数为0)
      　无须连接*p的子树，只需将*p的双亲*parent中指向*p的指针域置空即可。

         b.*p只有一个孩子*child
      　只需将*child和*p的双亲直接连接后，即可删去*p。
            注意：*p既可能是*parent的左孩子也可能是其右孩子，而*child可能是*p的左孩子或右孩子，故共有4种状态。

c.*p有两个孩子
　先令q=p，将被删结点的地址保存在q中；然后找*q的中序后继*p，并在查找过程中仍用parent记住*p的双亲位置。*q的中序后继*p一定是*q的右子树中最左下的结点，它无左子树。因此，可以将删去*q的操作转换为删去的*p的操作，即在释放结点*p之前将其数据复制到*q中，就相当于删去了*q。

三、代码清单

[cpp]
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define maxSize 20
#define maxWidth 20
typedef int KeyType; //假定关键字类型为整数
typedef struct node { //结点类型
    KeyType key; //关键字项
    struct node *lchild,*rchild;//左右孩子指针
} BSTNode,BSTree;
//typedef BSTNode *BSTree; //BSTree是二叉排序树的类型
//先序遍历
void preOrder(BSTree *BT)
{
    if(BT!= NULL)
    {
        printf("%d",BT->key);
        preOrder(BT->lchild);
        preOrder(BT->rchild);

    }
}
//中序遍历
void inOrder(BSTree *BT)
{
    if(BT!= NULL)
    {
        inOrder(BT->lchild);
        printf("%d",BT->key);
        inOrder(BT->rchild);
    }
}
//后序遍历
void postOrder(BSTree *BT)
{
    if(BT!= NULL)
    {
        postOrder(BT->lchild);
        postOrder(BT->rchild);
        printf("%d",BT->key);
    }
}

//层次法打印树
void dispTree(BSTree *BT)
{
    BSTree *stack[maxSize],*p;
    int level[maxSize][2],top,n,i,width=4;
    if(BT!=NULL)
    {
        printf("Display a tree by hollow means.\n");
        top=1;
        stack[top]=BT;//push root point to stack.
        level[top][0]=width;
        while(top>0)
        {
            p=stack[top];
            n=level[top][0];
            for(i=1;i<=n;i++)
                printf(" ");
            printf("%d",p->key);
            for(i=n+1;i<maxWidth;i+=2)
                printf("--");
            printf("\n");
            top--;
            if(p->rchild!=NULL)
            {
                top++;
                stack[top]=p->rchild;&n

补充：软件开发 , C++ ,