求树的“直径”以及所想到的
算法导论22.2-7题:树T=(V,E)的直径(diameter)定义为max(u,v),亦即,树的直径是树中所有最短路径长度中的最大值。试写出计算树的直径的有效算法,并分析算法的运行时间。如果这里的树T是简单的二叉树或者多叉树,我们可以用递归来解决(Diameter(tree T)表示T的直径);
1. 求出T左子树的最深节点的深度Dleft,求出T右子树最深节点的深度Dright。
2. 则T的直径为:max(Dleft + Dright + 1, Diameter(T->left), Diameter(T->right))
这里使用递归是因为有可能直径不经过根节点。时间复杂度为O(n^2).
下面还有个优化方法,可以使得时间复杂度为O(n).
Optimized implementation: The above implementation can be optimized by calculating the height in the same recursion rather than calling a height() separately. Thanks to Amar for suggesting this optimized version. This optimization reduces time complexity to O(n).
/*The second parameter is to store the height of tree. Initially, we need to pass a pointer to a location with value as 0. So, function should be used as follows: int height = 0; struct node *root = SomeFunctionToMakeTree(); int diameter = diameterOpt(root, &height); */ int diameterOpt(struct node *root, int* height) { /* lh --> Height of left subtree rh --> Height of right subtree */ int lh = 0, rh = 0; /* ldiameter --> diameter of left subtree rdiameter --> Diameter of right subtree */ int ldiameter = 0, rdiameter = 0; if(root == NULL) { *height = 0; return 0; /* diameter is also 0 */ } /* Get the heights of left and right subtrees in lh and rh And store the returned values in ldiameter and ldiameter */ ldiameter = diameterOpt(root->left, &lh); rdiameter = diameterOpt(root->right, &rh); /* Height of current node is max of heights of left and right subtrees plus 1*/ *height = max(lh, rh) + 1; return max(lh + rh + 1, max(ldiameter, rdiameter)); }
如果这里的树进化为了图,该如何求出它的直径呢?
1. 从任意一个节点u开始做第一遍BFS,得到距离u最远的那个节点v
2. 从节点v开始做第二遍BFS,得到距离v最远的节点 e, 那 v 到 e 就是直径。
证明:
1. 如果 u 在直径路径上:反证法, 如果v不在直径上,那根据直径的定义,必然存在一点v2在直径上,使得dist(u->v2) 大于 dist(u->v), 而这和BFS算法 v是从u 出发到达的所有节点中离u最远相矛盾。
2. 如果 u 不在直径路经上, 反证法,看图:
u ----- w ------- v
/
x ----------y ----------z
上图中,u-->v 是第一遍BFS算出来的路径,x-->z 是直径路径,反证法假设v 不在直径路径上,如图所示。根据树和联通图的定义,u->v中必然存在一点w, 和x->z中的某点y 相连通,或者说必然存在一个路径 w--y ,链接uv和xz。
代码就不写了,不是很复杂。
补充:软件开发 , C++ ,