Leetcode: Median of Two Sorted Arrays

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

思路：

核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；

如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；

如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

double findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k)  
    {  
        if(n<m)  
            return findKth(b,n,a,m,k);  
        if(m==0)  
            return b[k-1];  
        if(k==1)  
            return min(a[0],b[0]);  
        int pa = min(m,k/2);  
        int pb = k - pa;  
        if(a[pa-1] < b[pb-1])  
            return findKth(a+pa,m-pa,b,n,k-pa);  
        else if(a[pa-1] > b[pb-1])  
            return findKth(a,m,b+pb,n-pb,k-pb);  
        else  
            return a[pa-1];  
    }  
    double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n) {  
        // Note: The Solution object is instantiated only once.  
        int total = m+n;  
        if(total & 0x1)  
            return findKth(A,m,B,n,total/2+1);  
        else  
            return (findKth(A,m,B,n,total/2)+findKth(A,m,B,n,total/2+1))/2;  
    }

补充：软件开发 , C++ ,