程序员编程艺术：第六章、求解500万以内的亲和数
前奏
本章陆续开始，除了继续保持原有的字符串、数组等面试题之外，会有意识的间断性节选一些有关数字趣味小而巧的面试题目，重在突出思路的“巧”，和“妙”。本章亲和数问题之关键字，“500万”，“线性复杂度”。第一节、亲和数问题
题目描述：
求500万以内的所有亲和数
如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b,b的所有真因数之和等于a,则称a,b是一对亲和数。
例如220和284，1184和1210，2620和2924。分析：
首先得明确到底是什么是亲和数?亲和数问题最早是由毕达哥拉斯学派发现和研究的。他们在研究数字的规律的时候发现有以下性质特点的两个数：
220的真因子是：1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110；
284的真因子是：1、2、4、71、142。
而这两个数恰恰等于对方的真因子各自加起来的和（sum[i]表示数i 的各个真因子的和），即
220=1+2+4+71+142=sum[284],
284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=sum[220]。
得284的真因子之和sum[284]=220，且220的真因子之和sum[220]=284，即有sum[220]=sum[sum[284]]=284。如此，是否已看出丝毫端倪?
如上所示，考虑到1是每个整数的因子，把出去整数本身之外的所有因子叫做这个数的“真因子”。如果两个整数，其中每一个真因子的和都恰好等于另一个数，那么这两个数，就构成一对“亲和数”
求解：
了解了什么是亲和数，接下来咱们一步一步来解决上面提出的问题（以下内容大部引自水的原话，同时水哥有一句原话，“在你真正弄弄懂这个范例之前，你不配说你懂数据结构和算法”）。看到这个问题后，第一想法是什么？模拟搜索+剪枝？回溯？时间复杂度有多大？其中bn为an的伪亲和数，即bn是an的真因数之和大约是多少？至少是10^13（@iicup：N^1.5 对于5*10^6 , 次数大致 10^10 而不是 10^13.）的数量级的。那么对于每秒千万次运算的计算机来说，大概在1000多天也就是3年内就可以搞定了（iicup的计算: 10^13 / 10^7 =1000000(秒) 大约 278 小时. ）。如果是基于这个基数在优化，你无法在一天内得到结果的。
一个不错的算法应该在半小时之内搞定这个问题，当然这样的算法有很多。节约时间的做法是可以生成伴随数组，也就是空间换时间，但是那样，空间代价太大，因为数据规模庞大。
在稍后的算法中，依然使用的伴随数组，只不过，因为题目的特殊性，只是它方便和巧妙地利用了下标作为伴随数组，来节约时间。同时，将回溯的思想换成递推的思想（预处理数组的时间复杂度为logN（调和级数）*N，扫描数组的时间复杂度为线性O（N）。所以，总的时间复杂度为O（N*logN+N）（其中logN为调和级数） ）。第二节、伴随数组线性遍历
依据上文中的第3点思路，编写如下代码：view plaincopy to clipboardprint?
//求解亲和数问题
//第一个for和第二个for循环是logn（调和级数）*N次遍历,第三个for循环扫描O（N）。
//所以总的时间复杂度为 O（n*logn）+O（n）=O（N*logN）（其中logN为调和级数）。
//关于第一个for和第二个for寻找中，调和级数的说明：
//比如给2的倍数加2，那么应该是 n/2次，3的倍数加3 应该是 n/3次，...
//那么其实就是n*（1+1/2+1/3+1/4+...1/(n/2)）=n*（调和级数）=n*logn。
//copyright@ 上善若水
//July、updated，2011.05.24。
#include<stdio.h>
int sum[5000010]; //为防越界
int main()
{
int i, j;
for (i = 0; i <= 5000000; i++)
sum[i] = 1; //1是所有数的真因数所以全部置1
for (i = 2; i + i <= 5000000; i++) //预处理，预处理是logN（调和级数）*N。
//@litaoye：调和级数1/2 + 1/3 + 1/4......的和近似为ln(n)，
//因此O(n *(1/2 + 1/3 + 1/4......)) = O(n * ln(n)) = O(N*log(N))。
{
//5000000以下最大的真因数是不超过它的一半的
j = i + i; //因为真因数，所以不能算本身，所以从它的2倍开始
while (j <= 5000000)
{
//将所有i的倍数的位置上加i
sum[j] += i;
j += i;
}
}
for (i = 220; i <= 5000000; i++) //扫描，O（N）。
{
// 一次遍历，因为知道最小是220和284因此从220开始
if (sum[i] > i && sum[i] <= 5000000 && sum[sum[i]] == i)
{
//去重，不越界，满足亲和
printf("%d %d ",i,sum[i]);
}
}
return 0;
}运行结果：
@上善若水：
1、可能大家理解的还不是很清晰，我们建立一个5 000 000 的数组，从1到2 500 000 开
补充：软件开发 , C语言 ,
