POJ1837 Balance

题目大意：

有一个天平，天平左右两边各有若干个钩子，总共有C个钩子，有G个钩码，求将钩码全部挂到钩子上使天平平衡的方法的总数。

其中可以把天枰看做一个以x轴0点作为平衡点的横轴

dp思路：

每向天平中方一个重物，天平的状态就会改变，而这个状态可以由若干前一状态获得。

首先定义一个平衡度j的概念：

当平衡度j=0时，说明天枰达到平衡，j>0，说明天枰倾向右边（x轴右半轴），j<0则相反

那么此时可以把平衡度j看做为衡量当前天枰状态的一个值

因此可以定义一个状态数组dp[i][j]，意为在挂满前i个钩码时，平衡度为j的挂法的数量。

由于距离c[i]的范围是-15~15，钩码重量的范围是1~25，钩码数量最大是20

因此最极端的平衡度是所有物体都挂在最远端，因此平衡度最大值为j=15*20*25=7500。原则上就应该有dp[ 1~20 ][-7500 ~ 7500 ]。

因此为了不让下标出现负数，做一个处理，使使得数组开为 dp[1~20][0~15000]，则当j=7500时天枰为平衡状态

那么每次挂上一个钩码后，对平衡状态的影响因素就是每个钩码的力臂

力臂=重量 *臂长 = w[i]*c[k]

那么若在挂上第i个砝码之前，天枰的平衡度为j

(换言之把前i-1个钩码全部挂上天枰后，天枰的平衡度为j)

则挂上第i个钩码后，即把前i个钩码全部挂上天枰后，天枰的平衡度 j=j+ w[i]*c[k]

其中c[k]为天枰上钩子的位置，代表第i个钩码挂在不同位置会产生不同的平衡度

不难想到，假设 dp[i-1][j] 的值已知，设dp[i-1][j]=num（即已知把前i-1个钩码全部挂上天枰后得到状态j的方法有num次）

那么dp[i][ j+ w[i]*c[k] ] = dp[i-1][j] = num (即以此为前提，在第k个钩子挂上第i个钩码后，得到状态j+ w[i]*c[k]的方法也为num次

想到这里，利用递归思想，不难得出状态方程dp[i][ j+ w[i]*c[k] ]= ∑（dp[i-1][j]）

最终转化为01背包问题

状态方程dp[i][ j+ w[i]*c[k] ]= ∑（dp[i-1][j]）

初始化：dp[0][7500] = 1; //不挂任何重物时天枰平衡，此为一个方法

复杂度O(C*G*15000)

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int dp[21][15005],w[25],c[20],n,m;

int main()
{
    int i,j,k;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&c[i]);
        for(i=1;i<=m;i++)
            scanf("%d",&w[i]);
        memset(dp,0,sizeof dp);
        dp[0][7500]=1;
        for(i=1;i<=m;i++)//m个物体逐个增加
        {
            for(j=0;j<=15000;j++)//增加物体产生新的平衡度 要加上原有的平衡度
            {
                if(dp[i-1][j])//优化 原有的平衡度是0的话 就不用加了 都一样
                {
                    for(k=1;k<=n;k++)//将第i个物体放到第k个钩上
                        dp[i][j+c[k]*w[i]]+=dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        printf("%d\n",dp[m][7500]);
    }
    return 0;
}

补充：软件开发 , C++ ,