简要解析模拟退火算法以及利用它求解TSP问题

 

         模拟退火算是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。

 

         算法描述：

 

         若J( Y(i+1) )>= J( Y(i) )  (即移动后得到更优解)，则总是接受该移动

 

         若J( Y(i+1) )< J( Y(i) )  (即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）

 

　　这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。

 

　　根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：

 

　　　　P(dE) = exp( dE/(kT) )

 

　　其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。这条公式说白了就是：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（否则就不叫退火了），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。

 

　　随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。

 

　　我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率P(dE)来接受这样的移动。

 

 

下面给出模拟退火的伪代码表示。

 

 

 

/* 
* J(y)：在状态y时的评价函数值 
* Y(i)：表示当前状态 
* Y(i+1)：表示新的状态 
* r： 用于控制降温的快慢 
* T： 系统的温度，系统初始应该要处于一个高温的状态 
* T_min ：温度的下限，若温度T达到T_min，则停止搜索 
*/  
while( T > T_min )  
{  
　　dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) ) ;   
  
　　if ( dE >=0 ) //表达移动后得到更优解，则总是接受移动  
Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动  
　　else  
　　{  
// 函数exp( dE/T )的取值范围是(0,1) ，dE/T越大，则exp( dE/T )也  
if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) )  
Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动  
　　}  
　　T = r * T ; //降温退火 ，0<r<1 。r越大，降温越慢；r越小，降温越快  
　　/* 
　　* 若r过大，则搜索到全局最优解的可能会较高，但搜索的过程也就较长。若r过小，则搜索的过程会很快，但最终可能会达到一个局部最优值 
　　*/  
　　i ++ ;  
}  

 

 

使用模拟退火算法解决旅行商问题

 

　　旅行商问题 ( TSP , Traveling Salesman Problem ) ：有N个城市，要求从其中某个问题出发，唯一遍历所有城市，再回到出发的城市，求最短的路线。

 

　　旅行商问题属于所谓的NP完全问题，精确的解决TSP只能通过穷举所有的路径组合，其时间复杂度是O(N!) 。

 

　　使用模拟退火算法可以比较快的求出TSP的一条近似最优路径。（使用遗传算法亦可）算法思路：

 

1. 产生一条新的遍历路径P(i+1)，计算路径P(i+1)的长度L( P(i+1) )

 

2. 若L(P(i+1)) < L(P(i))  /*初始设定LP(i)为适当值*/ ，则接受P(i+1)为新的路径，否则以模拟退火的那个概率接受P(i+1) ，然后降温

 

3. 重复步骤1，2直到满足退出条件

 

　　产生新的遍历路径的方法有很多，如：

 

1. 随机选择2个节点，交换路径中的这2个节点的顺序。

 

2. 随机选择2个节点，将路径中这2个节点间的节点顺序逆转。

 

 

 

算法评价

 

        模拟退火算法是一种随机算法，并不一定能找到全局的最优解，可以比较快的找到问题的近似最优解。 如果参数设置得当，模拟退火算法搜索效率比穷举法要高得多。

 

补充：软件开发 , C++ ,