补码的简单探究

为了在计算机中表示负整数，有一些编码方式添加了符号位来区别正整数与负整数。
可是，这样一来，整数的加减运算变复杂了。

事实上，整数是一个整体，用符号位来区分正整数与负整数好像没什么必要。

补码的思想可能是这样来的——补码可以看成是一种编码方式，在这种编码方式中，正整数的表示方法跟无符号数相同是很自然的，可是负数怎么办呢？
为了简化这种编码方式的加减运算，可以考虑把整数的减法x-y转换成加法x+(-y),用一个加法器来进行所有的加减运算，这里其实给出了负数的编码方法——如果这种运算方法是可行的，就会有x+(-x)=0，即可以用正数来定义负数。
假定用4位二进制来编码，由于0010+1110=0000，于是-2的编码是1110。类似的，可以给出其余负数的编码。

整理一下思路，以这样的方式进行编码(8-bits)。
1) 正整数与无符号数的编码相同(0~2^7-1)
2) 用0与正整数(1~2^7)的编码来定义负整数的编码，使得x+(-x)=0
由负整数的定义可以看出，负数的编码是唯一的，同时值在2^7~2^8之间。
若x取反加1再加上自己，结果为0。x取反加1是唯一的，又由负整数的定义，负整数的编码一定是存在的，于是x取反加1就是负整数的编码。

可以证明这种编码的加减运算可以用一个加法器实现。
假定有两个正整数x与y（运算结果不溢出）。
1)      x+y=x+y可以得到正确的结果
2)      x+(-y)，分类讨论
   a)         若x>y，由1）可以使x=y+(x-y)，于是x+(-y)=(y+(x-y))+(-y)=(y+(-y))+ (x-y)= (x-y)，可以得到正确结果
   b)        若x<y，由a)可以使x=y+(-(y-x))，于是x+(-y)=(y+(-(y-x)))+(-y)=(y+(-y))+ (-(y-x))= (-(y-x))，可以得到正确结果
3)      (-x)+(-y)，由b)可以使 (-x)=y+(-(x+y))，于是(-x)+(-y)=(y+(-(x+y)))+(-y)=(y+(-y))+(-(x+y))=(-(x+y))，可以得到正确结果

补充：软件开发 , C语言 ,