白话算法(4) 谁升起，谁就是太阳


　正如优秀文学的秘密并不会因为《哈姆雷特》或《曼斯菲尔德庄园》的存在而一劳永逸地昭然若揭，建筑易做图奥托·瓦格纳或西古德·列维伦茨的作品也丝毫无力减少低劣建筑的增生。艺术的杰作至今仍像是凭运气偶然产生的，而艺术家仍然像成功点燃了一把火的洞易做图人，并没有搞清楚他们是如何做到的，更遑论将他们取得的成就的原理讲与他人知晓了。艺术天分就像是一场绝妙的焰火，瞬间穿透漆黑的暗夜，使观者油然而生敬畏之情，可转眼间就烟消云散，只留下无尽的黑暗与向往。
                                                                                                ——阿兰·德波顿 《幸福的建筑》
选择排序
　　选择排序的思路是，每次从输入的数组s中拿出一个最小的元素x，放到数组L的尾部，这样一直迭代下去，直到把s掏空时，L就是排好序的s。
 
view sourceprint?01 static void SelectionSort(int[] s)  
02 {  
03     // 有序数组 L = s[0..i]  
04     for (int i = 0; i < s.Length-1; i++)  
05     {  
06         int min = FindMin(s, i, s.Length-1);  
07         swap(s, i, min);  
08     }  
09 }  
10    
11 // 返回 s[startIndex..endIndex] 里最小元素的下标  
12 static int FindMin(int[] s, int startIndex, int endIndex)  
13 {  
14     int min = startIndex;  
15     for (int j = startIndex+1; j <= endIndex; j++)  
16     {  
17         if (s[min] > s[j])  
18             min = j;  
19     }  
20     return min;  
21 }  
22    
23 // 交换 s[i] 和 s[j] 的值  
24 static void swap(int[] s, int i, int j)  
25 {  
26     int temp = s[i];  
27     s[i] = s[j];  
28     s[j] = temp;  
29 } 
 
　　虽然这个思路看上去如此的简单直接、不言自明，但是我们心中仍然充满了疑惑。在选择排序里，有序的部分是增量的，但是，它和插入排序相比似乎又有很大的不同。它们有哪些相同和不同之处？如果它们有根本上的差别，那么这个算法是否也揭示了某种有代表性的思路呢？
　　这些问题很难回答，因为要怎么样才叫“增量法”，以及要有多大差别才算是“根本上”的，很难找到一个明确的定义。让我们先从可以确定的部分开始。
　　选择排序要求在排序之前所有的输入项目均已出现（而且它顺序地逐个产生最后的输出），而插入排序没有这个限制。从这个差别我们可以发现，对于插入排序，我们只需要关心一个系统——那个有序的子数组L，它可以接受任何随机的输入，并保持自身的有序。对于选择排序，我们必须关心两个系统——有序的系统L=s[0..i]和无序的系统R=s[i+1..n-1]，可以认为L是增量的（它每次接收一个元素，并且保持有序），只是它要求每次输入的元素必须比系统内的所有元素都要大，这就要求必须要有一个“每次输出一个更大的元素的系统”R。每次迭代，系统R的输出正好就是系统L所需要的输入。在看过前面3篇之后，对于如何处理增量的系统L我们已经很熟悉了，我们比较陌生的，是对“递减”的系统R的处理方法。每次从系统R中拿出一个最小的元素，就可确保每次从R中拿出来的元素都比前一次的大，这个逻辑虽然简单，但是也只有人类才能想出来并且理解它吧。　　
选择排序的性能
　　选择排序的最坏情况时间代价为Θ(n2)。这是因为R是无序的，所以要找到最小的元素就必须把R中所有元素都遍历一遍。要想提高性能，自然是要把R先搞成某种有序（这个“有序”指的不是“有顺序”而是指“有一定规律”）的形式，籍此来提高查找的性能。堆排序算法就是先把那个无序的系统搞成一种叫做堆的有序形式，并且每次拿出一个最小（或最大）元素后，再次保持它的堆的性质。
堆排序
　　堆是一棵二叉树，并且每个节点都大于等于该节点的子节点（称为大根堆），或者每个节点都小于等于该节点的子节点（称为小根堆）。聪明的你一定想到了，对于大根堆来说，s[0]就是最大的元素，每次输出它就行了。
　　可以用数组来表现一颗二叉树。

通过对数组的下标的计算，就可以得到一个节点的父节点、左孩子、右孩子的下标。
 
view sourceprint?01 // 返回下标为nodeIndex的节点的父节点的下标  
02 static int Parent(int nodeIndex)  
03 {  
04     return (nodeIndex-1) / 2;  
05 }  
06    
07 // 返回下标为nodeIndex的节点的左孩子节点的下标  
08 static int Left(int nodeIndex)  
09 {  
10     return (nodeIndex+1) * 2 - 1;  
11 }  
12    
13 // 返回下标为nodeIndex的节点的右孩子节点的下标  
14 static int Right(int nodeIndex)  
15 {  
16     return (nodeIndex + 1) * 2;  
17 } 

注：在《算法导论》里，数组的下界为1。但是在.Net里，数组的默认下界为0。虽然也可以创建下界为1的数组，但是效率会大打折扣，所以上面的计算树节点下标的方法还是基于下界为0的数组。
建堆
　　第一步，自然是要把数组处理成堆。我们无法一下子做的这点，所以和插入排序一样，要使用增量的方法。先处理最后一个非叶子节点为根的子树——它最多只有3个节点——可以很容易让它符合堆的性质，然后依次处理倒数第2个非叶子节点为根的子树、倒数第3个非叶子节点为根的子树……麻烦的地方在于，这样下去总会遇到这样的情况：左孩子和右孩子可能不再是叶子节点，而是一棵树，所以我们的处理方法不能只考虑子节点是叶子节点的情况。虽然数据结构由数组变成了更为复杂的树，但是就像前面几篇曾经反复讨论过的，计算机之所以能够以有限的代码处理不确定数量的输入，一个常用的思路就是，将输入分解成具有相似结构和特性（或者说规律）的子集，增量地处理。Heapify()很好地诠释了什么叫“具有相似的结构和特性”——它每次面临的情况都是“左右孩子已经是堆，只有根节点可能小于它的左右孩子节点”。
view sourceprint?01 // 将数组s处理成大根堆  
02 static void BuildHeap(int[] s)  
03 {  
04     // 从最后一个非叶子节点开始，直到根节点，调用Heapify()  
05     for (int i = s.Length / 2 - 1; i >= 0; i--)  
06     {  
07         Heapify(s, i, s.Length - 1);  
08     }  
09 }  
10    
11 // 让s[nodeIndex]为根节点的整棵树保持大根堆的性质。  
12 // 前置条件：以s[nodeIndex]的左孩子和右孩子为根节点的两颗树已经是大根堆  
13 static void Heapify(int[] s, int nodeIndex, int heapEndIndex)  
14 {  
15     int leftIndex = Left(nodeIndex);  
16     int rightIndex = Right(nodeIndex);  
17    
18     // 找出s[nodeIndex]、s[leftIndex]、s[rightIndex]三个元素中的最大的那个元素，并把它的下标赋值给largestIndex  
19     int largestIndex = nodeIndex;  
20     if (leftIndex <= heapEndIndex && s[leftIndex] > s[nodeIndex])  
21         largestIndex = leftIndex;  
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补充：综合编程 , 其他综合 ,