HDU 1402 FFT 求 大数乘法
这题的数据量是5w， 也就是传统意义上的n^2算法是不可取的。这里就用到了FFT
FFT一般的作用就是使得多项式乘法的复杂度降到nlogn。利用FFT可以快速求出循环卷积。
那么卷积又是什么样一个东西。
往往是在连续的情形,
两个函数f(x),g(x)的卷积,是∫f(u)g(x-u)du
当然，证明卷积的一些性质并不困难，比如交换，结合等等，但是对于卷积运算的来处，初学者就不甚了了。
其实，从离散的情形看卷积，或许更加清楚，
对于两个序列f[n],g[n],一般可以将其卷积定义为s[x]= ∑f[k]g[x-k]
卷积的一个典型例子,其实就是初中就学过的多项式相乘的运算,
比如(x*x+3*x+2)(2*x+5)
一般计算顺序是这样,
(x*x+3*x+2)(2*x+5)
= (x*x+3*x+2)*2*x+(x*x+3*x+2)*5
= 2*x*x*x+3*2*x*x+2*2*x+ 5*x*x+3*5*x+10
然后合并同类项的系数,
2 x*x*x
3*2+1*5 x*x
2*2+3*5 x
2*5
----------
2*x*x*x+11*x*x+19*x+10
实际上,从线性代数可以知道,多项式构成一个向量空间,其基底可选为
{1,x,x*x,x*x*x,...}
如此,则任何多项式均可与无穷维空间中的一个坐标向量相对应,
如,(x*x+3*x+2)对应于
(1 3 2),
(2*x+5)对应于
(2,5).
线性空间中没有定义两个向量间的卷积运算,而只有加法,数乘两种运算,而实际上,多项式的乘法,就无法在线性空间中说明.可见线性空间的理论多么局限了.
但如果按照我们上面对向量卷积的定义来处理坐标向量,
(1 3 2)*(2 5)
则有
2 3 1
_ _ 2 5
--------
2
2 3 1
_ 2 5
-----
6+5=11
2 3 1
2 5
-----
4+15 =19
_ 2 3 1
2 5
-------
10
或者说,
(1 3 2)*(2 5)=(2 11 19 10)
回到多项式的表示上来,
(x*x+3*x+2)(2*x+5)= 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10
似乎很神奇,结果跟我们用传统办法得到的是完全一样的.
换句话,多项式相乘,相当于系数向量的卷积.
其实,琢磨一下,道理也很简单,
卷积运算实际上是分别求 x*x*x ,x*x,x,1的系数，也就是说，他把加法和求和杂合在一起做了。(传统的办法是先做乘法，然后在合并同类项的时候才作加法)
以x*x的系数为例，得到x*x，或者是用x*x乘5，或者是用3x乘2x,也就是
2 3 1
_ 2 5
-----
6+5=11
其实,这正是向量的内积.如此则,卷积运算,可以看作是一串内积运算.既然是一串内积运算，则我们可以试图用矩阵表示上述过程。
[ 2 3 1 0 0 0]
[ 0 2 3 1 0 0]==A
[ 0 0 2 3 1 0]
[ 0 0 0 2 3 1]
[0 0 2 5 0 0]' == x
b= Ax=[ 2 11 19 10]'
采用行的观点看Ax,则b的每行都是一个内积。
A的每一行都是序列[2 3 1]的一个移动位置。
---------
显然,在这个特定的背景下,我们知道,卷积满易做图换,结合等定律,因为,众所周知的,多项式的乘法满易做图换律,结合律.在一般情形下,其实也成立.
在这里,我们发现多项式,除了构成特定的线性空间外,基与基之间还存在某种特殊的联系,正是这种联系,给予多项式空间以特殊的性质.
在学向量的时候，一般都会举这个例子，甲有三个苹果，5个橘子，乙有5个苹果，三个橘子，则共有几个苹果，橘子。老师反复告诫，橘子就是橘子，苹果就是苹果，可不能混在一起。所以有(3,5)+(5,3)=(8,8).是的，橘子和苹果无论怎么加，都不会出什么问题的，但是，如果考虑橘子乘橘子，或者橘子乘苹果，这问题就不大容易说清了。
又如复数,如果仅仅定义复数为数对（a,b),仅仅在线性空间的层面看待C2,那就未免太简单了。实际上，只要加上一条(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
则情况马上改观，复变函数的内容多么丰富多彩，是众所周知的。
另外，回想信号处理里面的一条基本定理,频率域的乘积,相当于时域或空域信号的卷积.恰好跟这里的情形完全对等.这后面存在什么样的隐态联系,需要继续参详.
从这里看,高等的卷积运算其实不过是一种初等的运算的抽象而已.中学学过的数学里面，其实还蕴涵着许多高深的内容（比如交换代数）。温故而知新,斯言不谬.
其实这道理一点也不复杂，人类繁衍了多少万年了，但过去n多年，人们只知道男女媾精，乃能繁衍后代。易做图，卵子的发现，生殖机制的研究，也就是最近多少年的事情。
孔子说，道在人伦日用中，看来我们应该多用审视的眼光看待周围，乃至自身，才能知其然，而知其所以然。
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然后我们就知道卷积大概的作用了。
那么FFT本来是信号里面的东西，而我没学过信号。 所以看的也不怎么懂。
大概就是对离散的信号，先将其转变为一些正弦函数，然后这些正弦函数叠加能构成这个离散信号，但是这些正弦函数易于处理。处理完之后就可以再转变回来。
两个过程叫做DFT和IDFT。
对于本道题。意义就很明显了。
可以把两个大整数相乘看做是多项式乘法。
最后求出各系数后再进位即可
代码如下、
[cpp]
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
#define L(x) (1 << (x))
const double PI = acos(-1.0);
const int Maxn = 133015;
double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn];
char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2];
int sum[Maxn];
int x1[Maxn],x2[Maxn];
int revv(int x, int bits)
{
int ret = 0;
for (int i = 0; i < bits; i++)
{
ret <<= 1;
ret |= x & 1;
x >>= 1;
}
return ret;
}
void fft(double * a, double * b, int n, bool rev)
{
int bits = 0;
while (1 << bits < n) ++bits;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int j = revv(i, bits);
if (i < j)
swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);
}
for (int len = 2; len <= n; len <<= 1)
{
int half = len >> 1;
double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);
if (rev) wmy = -wmy;
for (int i = 0; i < n; i += len)
{
double wx = 1, wy = 0;
for (int j = 0; j < half; j++)
{
double cx = a[i + j], cy = b[i + j];
double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];
&
补充：软件开发 , C++ ,
