《几何画板》：“派生”关系进行轨迹教学板

在进行轨迹教学时，课本有一配套例题，题意为：“一根竹竿（AB）长2M，斜靠在墙壁（BC）上，∠ABC=30°，BB'长度如图所示，如果竿端A、B分别沿CA、BC方向滑动至A'、B'，问竹竿中点D随之运动所经过的路程是多少？”。

　　经分析，要得到竹竿中点D运动所经过的路程，首先要求出点D运动的轨迹。但是传统的教学手段难以进行动态演示，“动点”只能用黑板上静态的“定点”来表示，学生很难形象地理解。

　　《几何画板》中的移动、跟踪功能可以辅助轨迹教学，于是笔者就在《几何画板》窗口中画了两条互相垂直的直线l1、l2，分别表示水平地面和墙面。在这两条直线上分别取点A和点B，连接AB，线段AB表示竹竿。但当对点B实施“移动”功能时，竹竿是下滑了，但竹竿的长度也变了，这与现实生活是不一致的。为什么呢？

　　原来《几何画板》中图形元素间有“派生”关系，即所谓的“父母”与“子女”。如：线段是由两点派生出来的，因此两端点是“父母”，而两端点间的线段是“子女”，删除端点，则线段就消失。端点位置变化，线段的长度也变了，这是因为图形元素间的“派生”关系在起作用。

　　明确了原因，经过一番思索，理顺图形元素间的“派生”关系，终于解决了问题。具体步骤如下：

　　1. 作互相垂直的直线l1、l2，再作线段r=2m。

　　2. 在水平直线l1上取点A。

　　3. 以点A为圆心，以线段r的长为半径，画⊙A。

　　4. 选中⊙A和直线l2，选择“构造”菜单中的“交点”，设交点为B。

　　5. 连接AB，作线段AB的中点D。

　　6. 选中点D，选择“显示”菜单中的“跟踪中点”命令。

　　7. 在直线l1上点A的右侧取一点A'，选中点A和点A'后再选择“编辑”菜单中的“操作类按钮”→“移动”（改名为“下滑”）。

　　8. 选中⊙A，按“Ctrl+H”，隐藏⊙A。

　　双击[下滑]按钮，可见到竹竿徐徐下滑，竹竿中点所留下的轨迹是一段圆弧。因此，由条件求得弧长所对的圆心角为（60°-45°），弧半径为1，根据弧长公式可求得该圆弧的长度，即竹竿中点D随之运动所经过的路程。

　　在制作过程的第3步，点A和线段r是“父母”，而⊙A是“子女”。第4步中，⊙A和直线l2是“父母”，而交点B是“子女”。第5步中，点A和点B是“父母”，而线段AB是“子女”。第6步中，线段AB是“父母”，而中点D是“子女”。在“四世同堂”的连锁作用下，竹竿在下滑过程中，长度始终保持不变并显示点D运动的轨迹。

　　由此可见，只要积极地去挖掘，灵活地加以利用，《几何画板》中“貌不惊人”的“图形元素间的派生关系”同样可以给我们带来意想不到的收获。