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POJ 2559 单调栈 Histogram

这个题目是一个好朋友给我讲的方法,我按照自己的理解,敲出来代码。 所以把算法流程和代码贡献出来,希望和大家共同学习。


题目大意:

给出一个柱形统计图(histogram), 它的每个项目的宽度是1, 高度和具体问题有关。 现在编程求出在这个柱形图中的最大面积的长方形。

例如:

7 2 1 4 5 1 3 3
7表示柱形图有7个数据,分别是 2 1 4 5 1 3 3, 对应的柱形图如下,最后求出来的面积最大的图如右图所示。

 

 

分析:
如果采用枚举的方式,如果当前我们枚举项是 i = 0, 即 height = 2,

我们用另外两个变量 j 和k 向左和向右两个方向搜素,找到第一个 小于 height的下标,这样我们就找到了用 i 项作为高度长方形了。

我们假设 -1位置,和最右高度都是无穷小。

例如:

i = 0, j = -1, k = 1, 最后的面积是 (k - j - 1) * height = 2

i = 1, j = -1, k = 7, 最后面积是( k - j - 1) * height = 7;

...

i = 3, j = 2, k = 5 面积是 ( k - j - 1) * height = 8

枚举出所有的长方形的同时,然后得到最后的面积。

不过这样的程序的时间复杂度是 O(n^2)

我们如何能仅仅做一次,就求出这个面积呢?

观察:

当我们扫扫描到第一个高度 H1 = 2的时候,我可以标记它的起始位置1, 因为我们还不知道它将向右扩展到什么地方,所以继续扫面。

当遇到第二项 H2 = 1, 因为这项比之前的小,我们知道,用H1做高度的长方形结束了,算出它的面积。

同时这个时候,我们多了一个高度H2,用它做长方形高度的长方形起始位置应该是在哪里呢? 因为H1的高度比H2要高,所以这个起始位置自然是H1所在的位置。


为了模拟上面的过程,我们引入单调栈~

我们先定义我们我们要保存的每一项数据

struct Node

{

      int height;

      int startPosition;

};

用来描述某一个高度,和这个高度的起始位置。

然后我们按照高度来组织成单调栈。我们来看一下它是如何工作的。

为了不用考虑堆栈为空的情况,我们用插入栈底 一个高度(0, 0)的项。

数据:

 2 1 4 5 1 3 3
这样初始化

(0 , 0)

I = 1

当扫描到(2, 1)时候,因为高度2 大于栈顶,插入

(0, 0),  (2, 1)

I = 2:

当扫描到1的时候,因为1小于栈顶高度2, 我们认为栈顶的那个高度应不能再向右扩展了,所以我们将它弹出

这个时候扫描到 i = 2;

高度是 (i - 1(H1.startIndex)) * H1.height = 2;

我们得到一个面积是2的长方形。

同时我们发现高度是1的当前高度,可以扩展到 H1所在的下标,所以我们插入( 1, 1) 堆栈变成

(0, 0), (1, 1) 因为(2, 1)已经不能向右伸展了,已经被弹出了


i = 3

(0, 0), (1, 1), ( 4 3)

i = 4

(0, 0), (1, 1), (4, 3), (5, 4)

i = 5

这个时候当前高度小于栈顶高度,我们认为栈顶已经不能向右扩展,所以弹出,并且获得面积 ( i  - H5.startindex) * H5.height = (5 - 4 ) * 5 = 5

弹出这个元素后,其实(4, 3)的高度也要比 1 大,所以把这个也弹出来,同样方式获得面积 8.

最后我们的堆栈是

(0, 0) , (1, 1)

i  = 6

(0, 0), (1, 1), ( 3, 6)

i = 7

(0, 0), (1, 1), (3, 6)

i = 8

最后一步是有点特殊的,因为我们必须要把所有的元素都弹出来,因为栈里面的高度,都坚持到了最后,我们要把这些高度组成的长方形拿出来检测。

我们可以假设扫面到8的时候,高度是0,(最小值)

弹出(3,6)获得面积 (8 - 6 ) * 3 = 6

弹出(1, 1)获得面积(8 - 1) * 1 = 7


最后的面积是8.


代码如下:

[cpp]
Memory: 2116K       Time: 454MS 
Language: C++       Result: Accepted 
Source Code 
#include <stdio.h> 
#include <stack> 
using namespace std; 
 
 
struct Node 

    long long height;//一个高度值 
    int startIdx; //这个高度值的起始位置 
 
    Node(long long _height, int _idx):height(_height), startIdx(_idx) 
    { 
 
    } 
}; 
long long gHeights[100000]; 
 
long long GetMaxArea(int nItem) 

    int i; 
    stack<Node> s; 
    long long height; 
 
    s.push(Node(-1, 0));//将最小高度加入堆栈,防止堆栈弹空 
 
    int currentPosition; 
    long long maxArea = 0;//记录最大面积 
    long long curArea; 
    for( i = 0; i <= nItem ; i++) 
    { 
        currentPosition = i + 1;//获得当前 位置 
        if( i == nItem)//这时候,我们认为到达最后,我们要弹空栈 
        { 
            height = 0; 
        } 
        else 
        { 
            height = gHeights[currentPosition-1]; 
        } 
        Node t(height, currentPosition);//当前节点 
        while( s.top().height > height) 
        { 
            t = s.top(); 
            s.pop(); 
 
            curArea = (currentPosition - t.startIdx) * t.height;//按照某个高度的 开始和结束的位置,获得面积 
            if(curArea > maxArea) 
            { 
                maxArea = curArea; 
            } 
        } 
        s.push(Node(height, t.startIdx)); 
 
    } 
    return maxArea; 

int main() 

 
    int nItem; 
 
    while(scanf("%d", &nItem) != EOF && nItem) 
    { 
 
 
 
        int i; 
        for( i = 0; i < nItem; i++) 
        { 
            scanf("%lld", gHeights + i); 
        } 
        printf("%lld\n", GetMaxArea(nItem)); 
    } 
     
 
    return 0; 
 

作者:hopeztm
 

补充:软件开发 , C++ ,
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