一道笔试题：捞鱼问题

题目：20个桶，每个桶中有10条鱼，用网从每个桶中抓鱼，每次可以抓住的条数随机，每个桶只能抓一次，问一共抓到180条的排列有多少种 （也可求概率）。
 
 
 
 
 
分析一下
 
     这道题其实可以这样理解，假设我已经抓到了180条鱼，而这180条鱼来自20个桶中，反过来就是我们将这180条鱼放到20个桶中且要保证每个桶的鱼在（0-10）之间，有多少种方法。假设我们在前i个桶中抓取了k（0<=k<=10*i）条鱼，那么抓取180条鱼的排列种数就等于在剩下的（20-i）个桶中抓取（180-k）条鱼的方法加上前i个桶中抓取k条鱼的方法。
 
 
 
再想一下
 
     由于总共有200条鱼，我们抓走了180条鱼，那么还剩下多少条呢？显然是20条。再用上面的思维，我们就可以这样想，将20条鱼放回这20个桶中满足每个桶中的鱼（0-10），有多少种放法。这里当然是因此了一个排列问题而不是组合问题，因为我第一个桶放1条鱼、第2个桶不放与第一个桶不放、第二个桶放1条鱼，是两种的不同的放法。
 
     这样分析下来，感觉就是一个跳台阶问题：一个梯子有20步，每次可以跳0-10步，20步跳完多少中跳法（可选择不跳）。  
 
 
 
编程思想
 
    思想其实跟完全背包问题类似，我们首先考虑第20个桶放多少鱼，那么我们就可以减去最后一个桶放的鱼数，再去考虑前面19个桶怎么放剩下的鱼。这样形成了一个递归，我们就可以很快写出如下代码。
 
[cpp]  
//bucket，表示当前考虑到第几个桶，当然首先考虑第20个桶  
//fishN，表示当前有多少鱼  
//返回值表示有多少中方法  
int Func(int bucketN,int fishN)  
{  
    if(bucketN<0 || fishN<0)return 0;//错误处理  
  
    if(bucketN == 1){  
        if(fishN>=0 && fishN<=10)//第1个桶里面放0-10的鱼，方法只有一种  
            return 1;  
        else{  
            return 0;  //其他用0种方法  
        }  
    }  
  
    int sum = 0;  
  
    for(int i=0; i<=10; ++i){  
        sum += Func(bucketN-1,fishN-i);//考虑前面bucket-1的组合，同时减掉当前放的鱼  
    }  
    return sum;  
}  
 
递归优化
     上面的代码，其实有很多重复计算。下面我们简单的分析一下：
 
F(20，20) = F(19，19)+ F(19，18).......; //考虑第20个桶放一条鱼和两条鱼的情况
 
F(19，19) = F(18，17)+.....;//第19个桶放2条鱼  ①
 
F(19，18) = F(18，17)+.....;//第19个桶放1条鱼  ②
 
     我们发现①和②都调用了F(18，17)，但是它们确实各算各的，这样就存在着很多类似的重复计算。该递归树，基本全是重复的点，这样时间复杂度被拖得很高。那么，我们只要设计一个数组来把计算好的值保存下来，这样避免了很多重复的计算。代码如下：
 
[cpp]  
//bucket，表示当前考虑到第几个桶，当然首先考虑第20个桶  
//fishN，表示当前有多少鱼  
//返回值表示有多少中方法  
int dp[21][200] = {0};  
int FuncOptimize(int bucketN,int fishN)  
{  
    if(bucketN<0 || fishN<0)return 0;  
  
    if(bucketN == 1){  
        if(fishN>=0 && fishN<=10)  
            return 1;  
        else{  
            return 0;  
        }  
    }  
    if(dp[bucketN][fishN] == 0){ //这个子过程没有被计算我们采取调用递归计算  
        for(int i=0; i<=10; ++i){  
            dp[bucketN][fishN] += FuncOptimize(bucketN-1,fishN-i);  
        }  
    }  
      
    return dp[bucketN][fishN];  
}  
 
下面我们用我们熟悉的斐波拉契序列做一个实验，我们同样的优化方式来做，看下程序跑得快了多少?
 
[cpp]  
#include<iostream>  
#include <windows.h>  
using namespace std;  
long long fibonacci[100];  
long long Fibonacci(int n)  
{  
    if(n == 0)return 1;  
    if(n == 1)return 1;  
  
    return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);  
}  
  
long long FibonacciOptimize(int n)  
{  
    if(n == 0)return 1;  
    if(n == 1)return 1;  
  
    if(fibonacci[n] == 0){  
        fibonacci[n] = FibonacciOptimize(n-1) + FibonacciOptimize(n-2);  
    }  
  
    return fibonacci[n];  
}  
  
  
int main()  
{  
    DWORD seconds = GetTickCount();  
    cout<<Fibonacci(40)<<endl;  
    cout<<"优化之前："<<(GetTickCount() - seconds)<<"ms"<<endl;  
    seconds = GetTickCount();  
    cout<<FibonacciOptimize(40)<<endl;  
    cout<<"优化之后："<<(GetTickCount() - seconds)<<"ms"<<endl;  
    system("pause");  
    return 0;  
}  
 
 
这个结果很是满意啊。
 
 
动态规划实现
 
     我们知道这种自顶向下的递归，都可以转换为动态规划自底向上的思想。就是我们递归的值是有下面的值一步步垒起来的，那么我只需要一开始就把下面的值算好，保持在那里，然后再算上面的时候，直接拿过来用，这就很快了。据我了解，背包问题的编程思路跟这道题是一摸一样，只不过背包走到第i种物品的时候，第i种物品的重量已经固定，而我们这道题是第i个桶取值是一个范围，那我们只要把这里范围都扫一遍就好了。
 
[cpp] 
#include<iostream>  
#include <windows.h>  
using namespace std;  
  
int dp[21][200] = {0};  
int FuncDp(int bucketN,int fishN)  
{  
    int i,j,k;  
  
    for(i=0; i<=10; ++i)  
        dp[1][i] = 1;  
  
    for(i=2; i<=bucketN; ++i){  
        for(j=0; j<=fishN; ++j){  
            for(k=0; k<=10&&j-k>=0; ++k){//可以取0-10

补充：软件开发 , C++ ,